ສູໂຣໂບ ກັບ ການຜະຈົນໄພ！
ແບບຝຶກຫັດຄະນິດສາດ ມ.4
ພາກທີ I - ບົດທີ 1: ສຳນວນປົກກະຕິ
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມໝາຍຂອງສຳນວນປົກກະຕິ, ເງື່ອນໄຂທີ່ເຮັດໃຫ້ສຳນວນປົກກະຕິບໍ່ກຳນົດ ແລະ ການຄັດຈ້ອນສຳນວນປົກກະຕິ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 1-3
ສຳນວນປົກກະຕິແມ່ນສຳນວນທີ່ຂຽນໃນຮູບແບບເລກສ່ວນ AB ເຊິ່ງ A ແລະ B ແມ່ນພະຫຸພົດ ໂດຍທີ່ຕົວຫານ B ຕ້ອງຕ່າງຈາກ 0 (B ≠ 0).
ຄ່າຂອງຕົວປ່ຽນທີ່ເຮັດໃຫ້ສຳນວນປົກກະຕິ ບໍ່ກຳນົດ ແມ່ນຄ່າທີ່ເຮັດໃຫ້ຕົວຫານ (ພູດ) ເທົ່າກັບ 0 (B = 0).
ສຳນວນ x + 3x - 1 ຈະບໍ່ກຳນົດເມື່ອຕົວຫານ x - 1 = 0 ⇔ x = 1.
ພາກທີ I - ບົດທີ 1: ສຳນວນປົກກະຕິ
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງຕົວປ່ຽນ x ທີ່ເຮັດໃຫ້ສຳນວນປົກກະຕິຕໍ່ໄປນີ້ບໍ່ກຳນົດ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງຕົວປ່ຽນ y ທີ່ເຮັດໃຫ້ສຳນວນປົກກະຕິຕໍ່ໄປນີ້ບໍ່ກຳນົດ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 1: ສຳນວນປົກກະຕິ
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມໝາຍຂອງສຳນວນປົກກະຕິ, ເງື່ອນໄຂທີ່ເຮັດໃຫ້ສຳນວນປົກກະຕິບໍ່ກຳນົດ ແລະ ການຄັດຈ້ອນສຳນວນປົກກະຕິ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 1-3
ເພື່ອຄັດຈ້ອນສຳນວນປົກກະຕິ, ເຮົາຈະແຍກພະຫຸພົດຢູ່ຕົວເສດ (ຈຳນວນພູດ) ແລະ ຕົວຫານ (ພູດ) ອອກເປັນສ່ວນຄູນ ແລ້ວຄັດສ່ວນຄູນທີ່ຄືກັນອອກ:
ຕົວຢ່າງ: ຄັດຈ້ອນສຳນວນ 2x + 6x² - 9 = 2(x + 3)(x - 3)(x + 3) = 2x - 3 (ເງື່ອນໄຂ x ≠ ±3).
ພາກທີ I - ບົດທີ 1: ສຳນວນປົກກະຕິ
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນປົກກະຕິຕໍ່ໄປນີ້ໃຫ້ເປັນຮູບແບບງ່າຍດາຍ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນປົກກະຕິຂັ້ນສູງຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 1: ສຳນວນປົກກະຕິ
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ການຄັດຈ້ອນໂດຍການແຍກຕົວຄູນຮ່ວມ 3 ພົດ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນປົກກະຕິ: x² + 5x + 6x² - 4
ການຫາເງື່ອນໄຂບໍ່ກຳນົດຂອງສຳນວນກຳລັງສອງ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ x ທັງໝົດທີ່ເຮັດໃຫ້ສຳນວນປົກກະຕິ: x - 1x² - 5x + 6 ບໍ່ກຳນົດ.
ພາກທີ I - ບົດທີ 1 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ສຳນວນປົກກະຕິ ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການຄັດຈ້ອນສຳນວນປົກກະຕິຊັ້ນສູງ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນປົກກະຕິ: 3x² + 6xx² - x - 6
ໂຈດບັນຫາປະຍຸກພຶດຊະຄະນິດ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຖ້າສຳນວນ x + ax - 3 ຄັດຈ້ອນກັບ x² - 9x² - 6x + 9 ໄດ້ຢ່າງສົມບູນ. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງຄົງຈຳນວນ a?
ພາກທີ I - ບົດທີ 2: ການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຫຼັກການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ, ການຄັດຈ້ອນຜົນຄູນ ແລະ ຜົນຫານໃຫ້ເປັນຮູບແບບງ່າຍດາຍທີ່ສຸດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 5-8
ເມື່ອຄູນສອງສຳນວນປົກກະຕິ, ເຮົາຈະເອົາຈຳນວນພູດຄູນກັບຈຳນວນພູດ ແລະ ເອົາພູດຄູນກັບພູດ ໂດຍກຳນົດເງື່ອນໄຂໃຫ້ຕົວຫານຕ່າງຈາກ 0:
ຕົວຢ່າງ:
- 3x5 × 109x² = 30x45x² = 23x (ເງື່ອນໄຂ x ≠ 0).
ພາກທີ I - ບົດທີ 2: ການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຄູນສຳນວນປົກກະຕິລຸ່ມນີ້ ແລະ ຄັດຈ້ອນໃຫ້ເປັນຮູບແບບງ່າຍດາຍ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຄູນພ້ອມທັງແຍກສ່ວນຄູນເພື່ອຄັດຈ້ອນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 2: ການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຫຼັກການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ, ການຄັດຈ້ອນຜົນຄູນ ແລະ ຜົນຫານໃຫ້ເປັນຮູບແບບງ່າຍດາຍທີ່ສຸດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 5-8
ການຫານສຳນວນປົກກະຕິແມ່ນການຄູນສຳນວນຕົວຕັ້ງຫານກັບສ່ວນກັບຂອງສຳນວນຕົວຫານ:
ຕົວຢ່າງ:
- 8xx² ÷ 122x = 8xx² × 2x12 = 16x²12x² = 43 (ເງື່ອນໄຂ x ≠ 0).
ພາກທີ I - ບົດທີ 2: ການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຫານສຳນວນປົກກະຕິລຸ່ມນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຫານໂດຍການປ່ຽນເປັນການຄູນ ແລະ ແຍກສ່ວນຄູນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 2: ການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ການຄູນ ແລະ ຫານແບບປະສົມ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຄິດໄລ່ ແລະ ຄັດຈ້ອນສຳນວນ: x² - 4x² - 5x + 6 × x - 3x + 2
ການຫານສຳນວນກຳລັງສອງ 3 ພົດ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຫານຂອງ: y² - y - 6y² - 4y ÷ y² - 4y² - 4
ພາກທີ I - ບົດທີ 2 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການຄິດໄລ່ຜົນຄູນຂັ້ນສູງ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຄູນຂອງ: x² - 12x + 36x² - 4 × x + 2x - 6
ການພົວພັນການຄູນ ແລະ ຫານສຳນວນ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຫານຂັ້ນສູງ: a² - b²2a ÷ a² + 2ab + b²4a²
ພາກທີ I - ບົດທີ 3: ການຫານພະຫຸພົດ
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການຫານພະຫຸພົດດ້ວຍວິທີຫານແບບຕັ້ງບັ້ງ ແລະ ວິທີຫານແບບຊີເນຕິກ (Synthetic Division), ການຊອກຫາຜົນຫານ ແລະ ຕົວເສດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 10-12
ການຫານພະຫຸພົດ A ໃຫ້ B ແມ່ນການຊອກຫາຜົນຫານ Q ແລະ ຕົວເສດ R ທີ່ຕອບສະໜອງເງື່ອນໄຂ:
ຕົວຢ່າງ: ຫານ 2x² + 5x - 12 ໃຫ້ x + 4 ດ້ວຍວິທີຕັ້ງບັ້ງ ຈະໄດ້ຜົນຫານແມ່ນ 2x - 3 ແລະ ຕົວເສດແມ່ນ 0 (ຫານຂາດ).
ພາກທີ I - ບົດທີ 3: ການຫານພະຫຸພົດ
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຜົນຫານ ແລະ ຕົວເສດຈາກການຫານພະຫຸພົດລຸ່ມນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຕົວເສດ R ໂດຍບໍ່ຕ້ອງຕັ້ງບັ້ງຫານ (ນຳໃຊ້ທິດສະດີບົດຕົວເສດ): (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 3: ການຫານພະຫຸພົດ
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການຫານພະຫຸພົດດ້ວຍວິທີຫານແບບຕັ້ງບັ້ງ ແລະ ວິທີຫານແບບຊີເນຕິກ (Synthetic Division), ການຊອກຫາຜົນຫານ ແລະ ຕົວເສດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 10-12
ການຫານແບບຊີເນຕິກແມ່ນວິທີຫານລັດສຳລັບພະຫຸພົດທີ່ຫານໃຫ້ພູດໃນຮູບແບບ x - c ໂດຍການນຳໃຊ້ພຽງແຕ່ສຳປະສິດຂອງພົດຕ່າງໆ:
1. ຂຽນສຳປະສິດຂອງຕົວຕັ້ງຫານທັງໝົດລຽງກັນຕາມລຳດັບຂັ້ນ.
2. ຂຽນຄ່າ c ຢູ່ທາງຊ້າຍສຸດ (ເຊິ່ງ c ເຮັດໃຫ້ຕົວຫານ x - c = 0).
3. ດຶງສຳປະສິດຕົວທຳອິດລົງມາ, ຄູນກັບ c ແລ້ວເອົາໄປບວກກັບສຳປະສິດຕົວຖັດໄປ ປະຕິບັດຊ້ຳໆຈົນສຸດ.
ພາກທີ I - ບົດທີ 3: ການຫານພະຫຸພົດ
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຜົນຫານ ແລະ ຕົວເສດໂດຍນຳໃຊ້ການຫານແບບຊີເນຕິກ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ k ທີ່ເຮັດໃຫ້ພະຫຸພົດຫານຂາດ: (5 ຄະແນນ)
ພະຫຸພົດ P(x) = x³ - 3x² + kx + 8 ຫານຂາດໃຫ້ x - 2
ພາກທີ I - ບົດທີ 3: ການຫານພະຫຸພົດ
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ການຫານພະຫຸພົດກຳລັງສີ່: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຊອກຫາຕົວເສດ R ຈາກການຫານ: (x⁴ - 2x³ + 3x² - x + 5) ÷ (x - 1)
ໂຈດຊອກຫາສອງຕົວຄົງຄ່າ (a ແລະ b): (5 ຄະແນນ)
(1) ຖ້າພະຫຸພົດ x³ + ax² + bx - 6 ຫານຂາດໃຫ້ທັງ x - 1 ແລະ x - 2 ພ້ອມກັນ. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ a ແລະ b ຕາມລຳດັບ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 3 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການຫານພະຫຸພົດ ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການຫານພະຫຸພົດທີ່ມີຕົວຫານເປັນກຳລັງສອງ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຈົ່ງຊອກຫາຜົນຫານ Q(x) ແລະ ຕົວເສດ R(x) ຈາກການຫານ: (x³ - 3x² + 5x - 2) ÷ (x² - 1)
ການພິສູດຕົວປະກອບ: (5 ຄະແນນ)
(1) ຖ້າ x + 3 ແມ່ນຕົວປະກອບຂອງພະຫຸພົດ 2x³ + 5x² - 4x + c. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງຄົງຈຳນວນ c?
ພາກທີ I - ບົດທີ 4: ການບວກ ແລະ ການລົບເສດສ່ວນ (Addition and Subtraction of Rational Expressions)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບວິທີການບວກ ແລະ ລົບເສດສ່ວນທີ່ມີພູດຄືກັນ ແລະ ພູດຕ່າງກັນ, ການຊອກຫາທະວີຄູນຮ່ວມໜ້ອຍສຸດ (LCM) ຂອງພະຫຸພົດ, ແລະ ການຄິດໄລ່ເສດສ່ວນຊ້ອນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 17-21
ເມື່ອເສດສ່ວນມີພູດຄືກັນ, ເຮົາພຽງແຕ່ບວກ ຫຼື ລົບຕົວເສດ (Numerator) ເຂົ້າກັນ ແລະ ຮັກສາພູດ (Denominator) ໄວ້ຄືເກົ່າ:
- ຕົວຢ່າງ 1: a / (a - b) - b / (a - b) = (a - b) / (a - b) = 1
- ຕົວຢ່າງ 2: x / (x² - 1) + 1 / (x² - 1) = (x + 1) / ((x - 1)(x + 1)) = 1 / (x - 1)
ພາກທີ I - ບົດທີ 4: ການບວກ ແລະ ການລົບເສດສ່ວນ (Addition and Subtraction of Rational Expressions)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ ແລະ ຄັດຈ້ອນເສດສ່ວນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາທະວີຄູນຮ່ວມໜ້ອຍສຸດ (LCM) ຂອງພະຫຸພົດ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 4: ການບວກ ແລະ ການລົບເສດສ່ວນ (Addition and Subtraction of Rational Expressions)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບວິທີການບວກ ແລະ ລົບເສດສ່ວນທີ່ມີພູດຄືກັນ ແລະ ພູດຕ່າງກັນ, ການຊອກຫາທະວີຄູນຮ່ວມໜ້ອຍສຸດ (LCM) ຂອງພະຫຸພົດ, ແລະ ການຄິດໄລ່ເສດສ່ວນຊ້ອນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 17-21
ເມື່ອພູດຕ່າງກັນ, ເຮົາຕ້ອງຂຶ້ນພູດຮ່ວມໂດຍການຊອກຫາ LCM ຂອງພູດທັງໝົດກ່ອນ:
A/B + C/D = (A·D + B·C) / (B·D)
ຄິດໄລ່: 1 / (x - 1) + 1 / (x + 1)
- ພູດຮ່ວມແມ່ນ (x - 1)(x + 1) = x² - 1.
- ຜົນໄດ້ຮັບແມ່ນ: [ (x + 1) + (x - 1) ] / (x² - 1) = 2x / (x² - 1).
ພາກທີ I - ບົດທີ 4: ການບວກ ແລະ ການລົບເສດສ່ວນ (Addition and Subtraction of Rational Expressions)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຂຶ້ນພູດຮ່ວມ ແລະ ຄິດໄລ່: (5 ຄະແນນ)
ຄິດໄລ່: [ 1 / (x - 1) ] - [ 1 / (x + 1) ]
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນເສດສ່ວນຊ້ອນ (Complex Fraction): (5 ຄະແນນ)
ຄັດຈ້ອນ: [ (1 + 1/x) / (1 - 1/x) ]
ພາກທີ I - ບົດທີ 4: ການບວກ ແລະ ການລົບເສດສ່ວນ (Addition and Subtraction of Rational Expressions)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດເສດສ່ວນຊ້ອນຂອງກ້ອງຖ່າຍຮູບ (Camera Lens Formula): (5 ຄະແນນ)
ສູດໄລຍະສຸມຂອງເລນກ້ອງຖ່າຍຮູບແມ່ນ: 1/f = 1/d + 1/a. ຖ້າເຮົາປ່ຽນສູດນີ້ເພື່ອຊອກຫາ f ໂດຍການຂຶ້ນພູດຮ່ວມ ແລະ ປີ້ນເສດສ່ວນ, ຈະໄດ້ f ເທົ່າກັບເທົ່າໃດ?
ໂຈດຄິດໄລ່ຫາຄ່າສະເລ່ຍຮາໂມນິກ (Harmonic Mean): (5 ຄະແນນ)
ຄ່າສະເລ່ຍຮາໂມນິກ M ຂອງສອງຈຳນວນ a ແລະ b ແມ່ນກຳນົດດ້ວຍ: M = 2 / (1/a + 1/b). ຈົ່ງຄິດໄລ່ຫາຄ່າສະເລ່ຍຮາໂມນິກຂອງ a = 3 ແລະ b = 6?
ພາກທີ I - ບົດທີ 4 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການບວກ ແລະ ການລົບເສດສ່ວນ (Addition and Subtraction of Rational Expressions) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການຄິດໄລ່ຫຼາຍເສດສ່ວນ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່: [ a / (a - b) ] + [ b / (b - a) ]
ການຄິດໄລ່ເສດສ່ວນຊ້ອນຕົວເລກ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນເສດສ່ວນ: (3/10 + 2/5) / (4/15 - 1/2)
ພາກທີ I - ບົດທີ 5: ການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Solving Rational Equations)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບວິທີການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Rational Equations), ການກໍານົດເງື່ອນໄຂ ຫຼື ເຂດກໍານົດຂອງສົມຜົນ, ແລະ ການກວດຄືນໃຈຜົນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 22-24
ການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນມີ 4 ຂັ້ນຕອນຫຼັກ:
- ຊອກຫາເຂດກໍານົດ (Domain Restriction): ກໍານົດໃຫ້ຕົວພູດທັງໝົດຕ້ອງຕ່າງຈາກ 0 (ຕົວຢ່າງ: x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1).
- ຂຶ້ນພູດຮ່ວມ ແລະ ປັດພູດ: ຄູນທັງສອງພາກຂອງສົມຜົນໃຫ້ກັບ LCM ຂອງພູດທັງໝົດເພື່ອໃຫ້ພູດໝົດໄປ.
- ແກ້ສົມຜົນ: ແກ້ສົມຜົນເສັ້ນຊື່ ຫຼື ສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ໄດ້ຮັບ.
- ກວດຄືນໃຈຜົນ: ກວດເບິ່ງວ່າໃຈຜົນທີ່ໄດ້ຮັບນັ້ນຂັດກັບເຂດກໍານົດໃນຂັ້ນຕອນທີ 1 ຫຼື ບໍ່.
ພາກທີ I - ບົດທີ 5: ການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Solving Rational Equations)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເຂດກໍານົດ (ຕົວປ່ຽນ x ຕ້ອງຕ່າງຈາກຄ່າໃດ) ຂອງສົມຜົນລຸ່ມນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 5: ການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Solving Rational Equations)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບວິທີການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Rational Equations), ການກໍານົດເງື່ອນໄຂ ຫຼື ເຂດກໍານົດຂອງສົມຜົນ, ແລະ ການກວດຄືນໃຈຜົນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 22-24
ໃນຫຼາຍໆກໍລະນີ, ເມື່ອເຮົາຂຶ້ນພູດຮ່ວມແລ້ວ ສົມຜົນທີ່ໄດ້ຮັບຈະກາຍເປັນສົມຜົນຂັ້ນສອງ ax² + bx + c = 0 ເຊິ່ງເຮົາຕ້ອງແກ້ດ້ວຍວິທີແຍກສ່ວນປະກອບ ຫຼື ໃຊ້ສູດ Delta (Δ = b² - 4ac).
ແກ້ສົມຜົນ: [ (3x) / (3x + 1) ] + [ 1 / (x + 1) ] = [ 3 / (3x + 1) ] - [ 2 / (x + 1) ]
- ພູດຮ່ວມແມ່ນ (3x + 1)(x + 1). ເຂດກໍານົດແມ່ນ x ≠ -1/3, -1.
- ຂຶ້ນພູດຮ່ວມ ແລະ ປັດພູດຈະໄດ້ສົມຜົນ: 3x(x + 1) + 1(3x + 1) = 3(x + 1) - 2(3x + 1)
- ຫຼັງຈາກຄັດຈ້ອນຈະໄດ້: 3x² + 9x = 0 ⇒ 3x(x + 3) = 0 ⇒ x = 0 ຫຼື x = -3.
- ທັງສອງຄ່າບໍ່ໄດ້ຂັດກັບເຂດກໍານົດ ດັ່ງນັ້ນ ໃຈຜົນແມ່ນ S = {0, -3}.
ພາກທີ I - ບົດທີ 5: ການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Solving Rational Equations)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນທີ່ນຳໄປສູ່ສົມຜົນຂັ້ນສອງຕໍ່ໄປນີ້: (5 ຄະແນນ)
ແກ້: [ (3x) / (3x + 1) ] + [ 1 / (x + 1) ] = [ 3 / (3x + 1) ] - [ 2 / (x + 1) ]
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນຕໍ່ໄປນີ້: (5 ຄະແນນ)
ແກ້: [ (x² - x) / (x + 2) ] = 6 / (x + 2)
ພາກທີ I - ບົດທີ 5: ການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Solving Rational Equations)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນຫຼາຍພູດ (Multiple Denominators): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ: 8 / (x + 1) = 4 - [ (x - 4) / x ]. (ຊອກຫາທັງສອງໃຈຜົນ x)
ໂຈດແກ້ສົມຜົນໄຮ້ໃຈຜົນຕົວຈິງ (No Real Solution): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງ Delta (Δ) ຂອງສົມຜົນທີ່ໄດ້ຮັບຫຼັງຈາກປັດພູດຂອງສົມຜົນ: [ 2 / (x² - 1) ] + 1/x = 2 / (x² - x) ? (ຮູ້ວ່າເຂດກໍານົດແມ່ນ x ≠ 0, 1, -1)
ພາກທີ I - ບົດທີ 5 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Solving Rational Equations) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນພື້ນຖານ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ: 2 / (x - 3) = -4 / (x - 3)
ໂຈດແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນຂັ້ນສອງ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ: 1 / (x - 1) + 1 / (x - 2) = 5 / 6
ພາກທີ I - ບົດທີ 6: ອັດຕາສ່ວນ ແລະ ອັດຕາສ່ວນພົວພັນ (Ratios and Proportions)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມໝາຍຂອງອັດຕາສ່ວນ (Ratio), ການແກ້ໂຈດບັນຫາອັດຕາການເຮັດວຽກຮ່ວມກັນ (Combined Work Rates), ແລະ ການແບ່ງປັນສ່ວນພົວພັນ (Proportional Sharing)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 25-28
- ອັດຕາສ່ວນແມ່ນການປຽບທຽບສອງປະລິມານ ຫຼື ສອງຂະໜາດທີ່ມີຫົວໜ່ວຍດຽວກັນ, ຂຽນໃນຮູບແບບ ເລກເສດສ່ວນ A/B ຫຼື A : B.
- ມາດຕາສ່ວນແຜນຜັງ (Scale): ອັດຕາສ່ວນລະຫວ່າງຂະໜາດໃນແຜນຜັງ ແລະ ຂະໜາດຈິງ. ເຊັ່ນ ມາດຕາສ່ວນ 1 : 50,000 ໝາຍຄວາມວ່າ 1 cm ໃນແຜນຜັງ ເທົ່າກັບ 50,000 cm (0.5 km) ຕົວຈິງ.
ພໍ່ມີອາຍຸ 45 ປີ ແລະ ລູກມີອາຍຸ 11 ປີ.
- ອັດຕາສ່ວນອາຍຸພໍ່ຕໍ່ອາຍຸລູກແມ່ນ: 45 : 11 (ຫຼື 45/11)
- ອັດຕາສ່ວນອາຍຸລູກຕໍ່ອາຍຸພໍ່ແມ່ນ: 11 : 45 (ຫຼື 11/45)
ພາກທີ I - ບົດທີ 6: ອັດຕາສ່ວນ ແລະ ອັດຕາສ່ວນພົວພັນ (Ratios and Proportions)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຂຽນອັດຕາສ່ວນຕໍ່ໄປນີ້ໃນຮູບແບບອັດຕາສ່ວນຂັ້ນຕ່ຳ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໂຈດແຜນຜັງ ແລະ ໄລຍະທາງຕົວຈິງ: (5 ຄະແນນ)
ແຜນຜັງມີມາດຕາສ່ວນ 1 : 150,000 (1 cm ແທນ 1.5 km ຈິງ). ຖ້າໄລຍະທາງໃນແຜນຜັງແມ່ນ 2.3 cm, ໄລຍະທາງຕົວຈິງແມ່ນຈັກ km?
ພາກທີ I - ບົດທີ 6: ອັດຕາສ່ວນ ແລະ ອັດຕາສ່ວນພົວພັນ (Ratios and Proportions)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມໝາຍຂອງອັດຕາສ່ວນ (Ratio), ການແກ້ໂຈດບັນຫາອັດຕາການເຮັດວຽກຮ່ວມກັນ (Combined Work Rates), ແລະ ການແບ່ງປັນສ່ວນພົວພັນ (Proportional Sharing)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 25-28
- ຖ້າຄົນທີ 1 ເຮັດວຽກແລ້ວໃນ a ຊົ່ວໂມງ, ຄົນທີ 2 ໃນ b ຊົ່ວໂມງ, ແລະ ຄົນທີ 3 ໃນ c ຊົ່ວໂມງ. ເວລາຮ່ວມກັນ t ແມ່ນ:
1/t = 1/a + 1/b + 1/c- ການແບ່ງປັນສ່ວນພົວພັນ: ເພື່ອແບ່ງປັນຈຳນວນ S ອອກເປັນພາກສ່ວນໃນອັດຕາສ່ວນ x : y : z. ແຕ່ລະສ່ວນຈະເທົ່າກັບ:
S_x = S × x / (x + y + z)
ພາກທີ I - ບົດທີ 6: ອັດຕາສ່ວນ ແລະ ອັດຕາສ່ວນພົວພັນ (Ratios and Proportions)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໂຈດອັດຕາການເຮັດວຽກຮ່ວມກັນ: (5 ຄະແນນ)
ທ້າວ ຄຳ ດຳນາແລ້ວຄົນດຽວໃນ 6 ຊົ່ວໂມງ, ນາງ ລີ ດຳນາແລ້ວຄົນດຽວໃນ 3 ຊົ່ວໂມງ, ແລະ ທ້າວ ສີ ດຳນາແລ້ວຄົນດຽວໃນ 4 ຊົ່ວໂມງ. ຖ້າທັງສາມຄົນຊ່ວຍກັນ ຈະໃຊ້ເວລາຈັກຊົ່ວໂມງ?
ໂຈດການແບ່ງປັນສ່ວນພົວພັນ: (5 ຄະແນນ)
ແບ່ງເງິນ 45,000 ກີບ ອອກເປັນ 3 ສ່ວນໃນອັດຕາສ່ວນພົວພັນ 7 : 5 : 3. ຈົ່ງຊອກຫາສ່ວນແບ່ງຂອງສ່ວນທີ 1 (ສ່ວນທີ່ຫຼາຍສຸດ)?
ພາກທີ I - ບົດທີ 6: ອັດຕາສ່ວນ ແລະ ອັດຕາສ່ວນພົວພັນ (Ratios and Proportions)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການແບ່ງປັນຈຳນວນໃຫຍ່ (Large Number Distribution): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແບ່ງຈຳນວນ 2,409 ອອກເປັນ 3 ສ່ວນໃນອັດຕາສ່ວນພົວພັນ 6 : 3 : 2. ຈົ່ງຊອກຫາຈຳນວນຂອງແຕ່ລະສ່ວນ?
ໂຈດການເປີດກັອກນ້ຳໃສ່ອ່າງ (Water Tap Filling): (5 ຄະແນນ)
ກັອກນ້ຳທີ 1 ແລະ ທີ 2 ໄຂໃສ່ອ່າງພ້ອມກັນຈະເຮັດໃຫ້ນ້ຳເຕັມອ່າງໃນ 30 ນາທີ ແລະ 20 ນາທີ ຕາມລຳດັບ. ຖ້າເປີດກັອກທີ 3 ປ່ອຍນ້ຳອອກຈະເຮັດໃຫ້ນ້ຳໝົດອ່າງໃນ 40 ນາທີ. ຖ້າໄຂທັງ 3 ກັອກພ້ອມກັນ ຈະໃຊ້ເວລາຈັກນາທີຈຶ່ງເຕັມອ່າງ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 6 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ອັດຕາສ່ວນ ແລະ ອັດຕາສ່ວນພົວພັນ (Ratios and Proportions) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ໂຈດຄັດຈ້ອນອັດຕາສ່ວນ: (5 ຄະແນນ)
ອັດຕາສ່ວນ 30 cm ຕໍ່ 1 m ໃນຮູບແບບຂັ້ນຕ່ຳແມ່ນເທົ່າໃດ?
ໂຈດການແບ່ງປັນສ່ວນພົວພັນງ່າຍດາຍ: (5 ຄະແນນ)
ແບ່ງເງິນ 45,000 Kip ໃຫ້ 3 ສ່ວນໃນອັດຕາສ່ວນ 7 : 5 : 3. ສ່ວນແບ່ງທີ່ນ້ອຍທີ່ສຸດແມ່ນຈັກ Kip?
ພາກທີ I - ບົດທີ 7: ເປີເຊັນ ແລະ ດອກເບ້ຍ (Percentages and Interest)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການນຳໃຊ້ສ່ວນຮ້ອຍ ຫຼື ເປີເຊັນ (%), ສູດຄິດໄລ່ດອກເບ້ຍດ່ຽວ (Simple Interest) ແລະ ດອກເບ້ຍທົບຕົ້ນ (Compound Interest) ແລະ ການຄິດໄລ່ການຊື້ຜ່ອນ ຫຼື ດາວເຄື່ອງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 32-38
- ດອກເບ້ຍດ່ຽວ ແມ່ນດອກເບ້ຍທີ່ຄິດໄລ່ຈາກຕົ້ນທຶນເດີມສະເໝີ ໂດຍບໍ່ເອົາດອກເບ້ຍມາສະສົມເຂົ້າເປັນຕົ້ນທຶນໃໝ່. ສູດຄິດໄລ່:
I = (P × R × T) / 100ເຊິ່ງ P ແມ່ນ ຕົ້ນທຶນ (Principal), R ແມ່ນ ອັດຕາການຂະຫຍາຍຕົວ/ອັດຕາດອກເບ້ຍ (Rate %), T ແມ່ນ ເວລາເປັນປີ (Time).
ຝາກປະຢັດ 32.5 ລ້ານກີບ ໃນອັດຕາດອກເບ້ຍ 15% ຕໍ່ປີ ເປັນເວລາ 4 ປີ ຈະໄດ້ດອກເບ້ຍ:
I = (32.5 × 15 × 4) / 100 = 19.5 ລ້ານກີບ.
ພາກທີ I - ບົດທີ 7: ເປີເຊັນ ແລະ ດອກເບ້ຍ (Percentages and Interest)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຫາດອກເບ້ຍດ່ຽວ (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ):
ຊອກຫາອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ R ຕໍ່ປີ: (5 ຄະແນນ)
ຝາກເງິນ 50 ລ້ານກີບ (P = 50) ເປັນເວລາ 3 ປີ (T = 3) ໄດ້ຮັບດອກເບ້ຍທັງໝົດ 15 ລ້ານກີບ (I = 15).
ພາກທີ I - ບົດທີ 7: ເປີເຊັນ ແລະ ດອກເບ້ຍ (Percentages and Interest)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການນຳໃຊ້ສ່ວນຮ້ອຍ ຫຼື ເປີເຊັນ (%), ສູດຄິດໄລ່ດອກເບ້ຍດ່ຽວ (Simple Interest) ແລະ ດອກເບ້ຍທົບຕົ້ນ (Compound Interest) ແລະ ການຄິດໄລ່ການຊື້ຜ່ອນ ຫຼື ດາວເຄື່ອງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 32-38
- ດອກເບ້ຍທົບຕົ້ນ ແມ່ນການເອົາດອກເບ້ຍທີ່ໄດ້ຮັບໃນແຕ່ລະງວດ ມາສະສົມເຂົ້າເປັນຕົ້ນທຶນຂອງງວດຖັດໄປ. ສູດຄິດໄລ່ເງິນລວມ A ພາຍໃນ n ປີ:
A = P × (1 + r)^nເຊິ່ງ P ແມ່ນ ຕົ້ນທຶນເລີ່ມຕົ້ນ, r ແມ່ນ ອັດຕາດອກເບ້ຍທົບຕົ້ນ (ຂຽນເປັນເລກທົດສະນິຍົມ ເຊັ່ນ 4% = 0.04), n ແມ່ນ ຈຳນວນປີ.
ຝາກເງິນທົບຕົ້ນ 50 ລ້ານກີບ ໃນອັດຕາ 4% (0.04) ຕໍ່ປີ ເປັນເວລາ 3 ປີ ຈະໄດ້ເງິນທັງໝົດ:
A = 50 × (1.04)³ = 50 × 1.124864 = 56.2432 ລ້ານກີບ.
ພາກທີ I - ບົດທີ 7: ເປີເຊັນ ແລະ ດອກເບ້ຍ (Percentages and Interest)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໂຈດດອກເບ້ຍທົບຕົ້ນ (Compound Interest): (5 ຄະແນນ)
ຝາກເງິນທົບຕົ້ນ 10 ລ້ານກີບ ໃນອັດຕາ 2% (0.02) ຕໍ່ປີ ເປັນເວລາ 2 ປີ. ຈະໄດ້ຮັບເງິນລວມໃນບັນຊີທັງໝົດຈັກກີບ?
ໂຈດການຊື້ຜ່ອນເຄື່ອງ (Downpayment & Installment): (5 ຄະແນນ)
ຊື້ຄອມພິວເຕີໂນດບຸກລາຄາ 3 ລ້ານກີບ ໂດຍຈ່າຍສົດເລີ່ມຕົ້ນ 30% ຂອງລາຄາ, ສ່ວນທີ່ເຫຼືອແມ່ນແບ່ງຈ່າຍເປັນງວດພາຍໃນ 6 ເດືອນ (ບໍ່ຄິດໄລ່ດອກເບ້ຍ). ຖາມວ່າຕ້ອງຈ່າຍງວດລະຈັກກີບ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 7: ເປີເຊັນ ແລະ ດອກເບ້ຍ (Percentages and Interest)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການຄິດໄລ່ດອກເບ້ຍທົບຕົ້ນຂັ້ນສູງ (Advanced Compound): (5 ຄະແນນ)
ຝາກເງິນທົບຕົ້ນ 4 ລ້ານກີບ (P = 4,000,000) ເປັນເວລາ 2 ປີ (n = 2) ໄດ້ຮັບເງິນລວມທັງໝົດໃນບັນຊີແມ່ນ 4.8672 ລ້ານກີບ (A = 4,867,200). ຈົ່ງຊອກຫາອັດຕາດອກເບ້ຍທົບຕົ້ນ r ຕໍ່ປີ?
ໂຈດກູ້ຢືມຊື້ລົດຈັກພ້ອມດອກເບ້ຍ (Installment with Interest): (5 ຄະແນນ)
ຢືມເງິນ 10 ລ້ານກີບ ເພື່ອໄປຊື້ລົດຈັກ ໂດຍມີອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວແມ່ນ 5% ຕໍ່ປີ, ຕ້ອງຈ່າຍຄືນທັງໝົດ (ທັງຕົ້ນທຶນ ແລະ ດອກເບ້ຍ) ພາຍໃນ 2 ປີ. ຖ້າແບ່ງຈ່າຍເປັນ 24 ງວດ (ເດືອນລະງວດ), ຕ້ອງຈ່າຍງວດລະຈັກກີບ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 7 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເປີເຊັນ ແລະ ດອກເບ້ຍ (Percentages and Interest) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ສ່ວນຮ້ອຍ ແລະ ອັດຕາສ່ວນ: (5 ຄະແນນ)
ໃນໂຮງຮຽນແຫ່ງໜຶ່ງມີນັກຮຽນຍິງ 500 ຄົນ ຈາກນັກຮຽນທັງໝົດ 800 ຄົນ. ຄິດເປັນຈັກສ່ວນຮ້ອຍ (%) ຂອງນັກຮຽນທັງໝົດ?
ດອກເບ້ຍດ່ຽວໄລຍະສັ້ນ: (5 ຄະແນນ)
ຝາກເງິນ 2 ລ້ານກີບ ໃນອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 9% ຕໍ່ປີ ພາຍໃນ 6 ເດືອນ ຈະໄດ້ຮັບດອກເບ້ຍຈັກກີບ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 8: ການແກ້ໂຈດບັນຫາກ່ຽວກັບຄວາມໄວ, ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາ (Speed, Distance, and Time Problems)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງ ຄວາມໄວສະເລ່ຍ (v), ໄລຍະທາງ (S) ແລະ ເວລາ (t), ການແກ້ໂຈດບັນຫາລົດແລ່ນຂຶ້ນ-ລົງຄ້ອຍ, ແລະ ການແກ້ໂຈດບັນຫາກຣາຟການເຄື່ອນທີ່ສວນທາງກັນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 39-44
ການເຄື່ອນທີ່ສະເໝີແມ່ນການເຄື່ອນທີ່ທີ່ມີຄວາມໄວຄົງທີ່. ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງ ຄວາມໄວ (v), ໄລຍະທາງ (S) ແລະ ເວລາ (t) ແມ່ນ:
ທ້າວ ແກ້ວ ຖີບລົດຂຶ້ນຄ້ອຍໄລຍະທາງ 10 km ດ້ວຍຄວາມໄວ 10 km/h, ແລ້ວຖີບລົງຄ້ອຍທາງເດີມ 10 km ດ້ວຍຄວາມໄວ 15 km/h. ຄວາມໄວສະເລ່ຍແມ່ນ:
- ໄລຍະທາງທັງໝົດ S = 10 + 10 = 20 km.
- ເວລາທັງໝົດ t = t₁ + t₂ = (10/10) + (10/15) = 1 + 2/3 = 5/3 ຊົ່ວໂມງ.
- ຄວາມໄວສະເລ່ຍ v = 20 / (5/3) = 20 × 3/5 = 12 km/h.
ພາກທີ I - ບົດທີ 8: ການແກ້ໂຈດບັນຫາກ່ຽວກັບຄວາມໄວ, ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາ (Speed, Distance, and Time Problems)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຫາຄວາມໄວສະເລ່ຍ ແລະ ເວລາເດີນທາງ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໂຈດວາງແຜນການເດີນທາງໃຫ້ທັນເວລາ (Target Arrival Time): (5 ຄະແນນ)
ທ້າວ ພອນ ຕັ້ງໃຈຈະຂັບລົດໄລຍະທາງ 300 km ໃຫ້ຮອດໃນເວລາ 3 ຊົ່ວໂມງ. ແຕ່ໃນ 100 km ທຳອິດ, ລົດຕິດເຮັດໃຫ້ລາວຂັບໄດ້ພຽງຄວາມໄວ 50 km/h. ຖາມວ່າໃນໄລຍະທາງ 200 km ທີ່ເຫຼືອ ລາວຕ້ອງຂັບດ້ວຍຄວາມໄວເທົ່າໃດ ຈຶ່ງຈະຮອດຕາມກຳນົດ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 8: ການແກ້ໂຈດບັນຫາກ່ຽວກັບຄວາມໄວ, ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາ (Speed, Distance, and Time Problems)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງ ຄວາມໄວສະເລ່ຍ (v), ໄລຍະທາງ (S) ແລະ ເວລາ (t), ການແກ້ໂຈດບັນຫາລົດແລ່ນຂຶ້ນ-ລົງຄ້ອຍ, ແລະ ການແກ້ໂຈດບັນຫາກຣາຟການເຄື່ອນທີ່ສວນທາງກັນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 39-44
- ເມື່ອສອງວັດຖຸເຄື່ອນທີ່ສວນທາງກັນ, ເຮົາສາມາດຊອກຫາຈຸດພົບກັນ ແລະ ເວລາພົບກັນໄດ້ໂດຍການຕັ້ງສົມຜົນໄລຍະທາງໃຫ້ເທົ່າກັນ ຫຼື ໃຊ້ສົມຜົນກຣາຟ.
- ຖ້າໄລຍະທາງລະຫວ່າງ A ແລະ B ແມ່ນ D. ວັດຖຸ 1 ອອກຈາກ A ດ້ວຍຄວາມໄວ v₁ ແລະ ວັດຖຸ 2 ອອກຈາກ B ດ້ວຍຄວາມໄວ v₂ ພ້ອມກັນ, ເວລາທີ່ທັງສອງຈະພົບກັນແມ່ນ:
t = D / (v₁ + v₂)
ພາກທີ I - ບົດທີ 8: ການແກ້ໂຈດບັນຫາກ່ຽວກັບຄວາມໄວ, ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາ (Speed, Distance, and Time Problems)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໂຈດການເຄື່ອນທີ່ສວນທາງກັນ (Meeting Point): (5 ຄະແນນ)
ເມືອງ A ແລະ ເມືອງ B ຫ່າງກັນ 90 km. ລົດເມຄັນໜຶ່ງອອກຈາກເມືອງ A ເວລາ 6:00 ແລະ ຮອດເມືອງ B ເວລາ 8:00 (ຄວາມໄວ v = 45 km/h). ລົດເມອີກຄັນໜຶ່ງອອກຈາກເມືອງ B ເວລາ 6:00 ໄປຫາເມືອງ A. ທັງສອງຄັນສວນທາງກັນໃນເວລາ 7:00 ພໍດີ. ຖາມວ່າລົດຄັນທີ 2 ຕ້ອງແລ່ນດ້ວຍຄວາມໄວຈັກ km/h?
ໂຈດການເດີນທາງຫຼາຍໄລຍະ (Multi-stage Journey): (5 ຄະແນນ)
ທ້າວ ບຸນ ເດີນທາງ 10 km: ລາວເລີ່ມເດີນທາງດ້ວຍການຍ່າງ 2 km ດ້ວຍຄວາມໄວ 4 km/h. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ລາວຂີ່ລົດເມຕໍ່ເປັນໄລຍະທາງ 8 km ດ້ວຍຄວາມໄວ 16 km/h. ຖາມວ່າລາວໃຊ້ເວລາເດີນທາງທັງໝົດຈັກຊົ່ວໂມງ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 8: ການແກ້ໂຈດບັນຫາກ່ຽວກັບຄວາມໄວ, ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາ (Speed, Distance, and Time Problems)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການແລ່ນໄລ່ທັນກັນ (Catching Up): (5 ຄະແນນ)
ລົດຈັກຄັນໜຶ່ງອອກເດີນທາງຈາກວຽງຈັນເວລາ 8:00 ດ້ວຍຄວາມໄວສະເໝີ 40 km/h. ຕໍ່ມາໃນເວລາ 9:00 (1 ຊົ່ວໂມງຫຼັງຈາກນັ້ນ), ລົດເກັງຄັນໜຶ່ງອອກເດີນທາງຕາມຫຼັງເສັ້ນທາງດຽວກັນດ້ວຍຄວາມໄວສະເໝີ 60 km/h. ຖາມວ່າລົດເກັງຈະແລ່ນໄລ່ທັນລົດຈັກໃນເວລາຈັກໂມງ?
ໂຈດຄວາມໄວສະເລ່ຍ 3 ໄລຍະ (Three-stage Average Speed): (5 ຄະແນນ)
ນາງ ຈັນ ຂັບລົດ 12 km ທຳອິດດ້ວຍຄວາມໄວ 60 km/h. ຫຼັງຈາກນັ້ນ ຂີ່ເຮືອບິນ 1,500 km ດ້ວຍຄວາມໄວ 1,000 km/h. ສຸດທ້າຍ ຂີ່ລົດແທັກຊີ 40 km ດ້ວຍຄວາມໄວ 80 km/h. ຈົ່ງຊອກຫາຄວາມໄວສະເລ່ຍຂອງການເດີນທາງທັງໝົດ? (ປັດເສດເປັນເລກຖ້ວນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 8 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການແກ້ໂຈດບັນຫາກ່ຽວກັບຄວາມໄວ, ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາ (Speed, Distance, and Time Problems) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄິດໄລ່ໄລຍະທາງ: (5 ຄະແນນ)
ລົດຍົນແລ່ນດ້ວຍຄວາມໄວສະເລ່ຍ 80 km/h ເປັນເວລາ 3.5 ຊົ່ວໂມງ ຈະໄດ້ໄລຍະທາງທັງໝົດຈັກ km?
ຄິດໄລ່ຄວາມໄວສະເລ່ຍຮ່ວມ: (5 ຄະແນນ)
ລົດຈັກຄັນໜຶ່ງແລ່ນຂຶ້ນພູ 60 km ດ້ວຍຄວາມໄວ 30 km/h, ແລະ ລົງພູ 60 km ດ້ວຍຄວາມໄວ 60 km/h. ຄວາມໄວສະເລ່ຍຂອງການເຄື່ອນທີ່ທັງໝົດແມ່ນຈັກ km/h?
ພາກທີ I - ບົດທີ 9: ເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມໝາຍຂອງເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots), ຄຸນລັກສະນະຕ່າງໆຂອງຮາກຂັ້ນ n, ການຄັດຈ້ອນສຳນວນທີ່ມີຮາກ, ແລະ ວິທີການຖອດຮາກຂັ້ນສອງດ້ວຍການຕັ້ງບັ້ງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 45-50
- ຮາກຂັ້ນ n ຂອງຈຳນວນຈິງ x (ຂຽນແທນດ້ວຍ ⁿ√x) ແມ່ນຈຳນວນຈິງ y ທີ່ເຮັດໃຫ້ y^n = x:
y = ⁿ√x ⇔ y^n = x
- ຖ້າ n ເປັນຈຳນວນຄູ່ (n = 2, 4, 6...): ຮາກຂັ້ນ n ຈະກຳນົດໄດ້ກໍຕໍ່ເມື່ອ x ≥ 0 ແລະ ຜົນໄດ້ຮັບຈະມີຄ່າບວກສະເໝີ. ເຊັ່ນ: √16 = 4.
- ຖ້າ n ເປັນຈຳນວນຄີກ (n = 3, 5, 7...): ຮາກຂັ້ນ n ຈະກຳນົດໄດ້ກັບທຸກໆຈຳນວນຈິງ x. ເຊັ່ນ: ³√(-8) = -2.
- ⁿ√(x × y) = ⁿ√x × ⁿ√y (ເມື່ອ x, y ≥ 0 ຖ້າ n ເປັນຄູ່)
- ⁿ√(x / y) = ⁿ√x / ⁿ√y (ເມື່ອ y > 0)
- ᵐ√(ⁿ√x) = ᵐⁿ√x
- ⁿ√(x^n) = |x| (ຖ້າ n ເປັນຄູ່) ; ⁿ√(x^n) = x (ຖ້າ n ເປັນຄີກ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 9: ເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ ແລະ ຄັດຈ້ອນສຳນວນເລກຮາກຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບແບບຮາກຂັ້ນຕ່ຳ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 9: ເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມໝາຍຂອງເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots), ຄຸນລັກສະນະຕ່າງໆຂອງຮາກຂັ້ນ n, ການຄັດຈ້ອນສຳນວນທີ່ມີຮາກ, ແລະ ວິທີການຖອດຮາກຂັ້ນສອງດ້ວຍການຕັ້ງບັ້ງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 45-50
ການຖອດຮາກຂັ້ນສອງຂອງຈຳນວນໃຫຍ່ ໂດຍບໍ່ນຳໃຊ້ເຄື່ອງຄິດເລກ ສາມາດເຮັດໄດ້ໂດຍການຈັດກຸ່ມຕົວເລກເທື່ອລະ 2 ຕົວ ຈາກຂວາຫາຊ້າຍ, ແລ້ວຊອກຫາຕົວເລກກຳລັງສອງທີ່ໃກ້ຄຽງທີ່ສຸດ:
- ຖອດຮາກ √625:
1. ແບ່ງເປັນ 6 ແລະ 25. ຊອກຫາຕົວເລກທີ່ຂຶ້ນກຳລັງສອງບໍ່ໃຫ້ເກີນ 6 ແມ່ນ 2 (ເພາະ 2² = 4). ຕົວເສດແມ່ນ 2. ດຶງ 25 ລົງມາເປັນ 225.
2. ເອົາ 2 ຄູນ 2 ເປັນ 4. ຊອກຫາຕົວເລກ x ທີ່ເຮັດໃຫ້ 4x × x ໃກ້ຄຽງ 225 ທີ່ສຸດ. ພົບວ່າ 45 × 5 = 225 ພໍດີ.
3. ດັ່ງນັ້ນ √625 = 25.
ພາກທີ I - ບົດທີ 9: ເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຖອດຮາກຂັ້ນສອງຂອງຈຳນວນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າປະມານທົດສະນິຍົມ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າປະມານຂອງ √5 ໃຫ້ເປັນເລກທົດສະນິຍົມ 3 ຕຳແໜ່ງ (ໂດຍໃຊ້ວິທີຕັ້ງບັ້ງຖອດຮາກ)?
ພາກທີ I - ບົດທີ 9: ເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຄັດຈ້ອນສຳນວນຕົວປ່ຽນ (Variable Simplification): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນ: ³√(27x³y⁹). (ຮູ້ວ່າ x ແລະ y ແມ່ນຈຳນວນຈິງ)
ໂຈດການຖອດຮາກເລກທົດສະນິຍົມ (Decimal Square Root): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຖອດຮາກຂັ້ນສອງຂອງ 25.6 grad/degree? ຂໍໂທດ, ຖອດຮາກຂອງ 6.25 (√6.25) ໂດຍໃຊ້ວິທີຕັ້ງບັ້ງ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 9 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄັດຈ້ອນຮາກຂັ້ນສອງຂອງຕົວປ່ຽນ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນ: √(16x²). (ຮູ້ວ່າ x < 0)
ການຖອດຮາກຈຳນວນ 6 ຫຼັກ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຖອດຮາກຂັ້ນສອງຂອງ: √138384
ພາກທີ I - ບົດທີ 10: ການຄິດໄລ່ໜວດຄຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ (Calculations with Radicals)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການບວກ, ລົບ, ຄູນ, ຫານສຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ, ການຄິດໄລ່ໂດຍໃຊ້ຈຳນວນຄູ່ຮ່ວມ (Conjugates), ແລະ ວິທີການຄັດຮາກອອກຈາກພູດ (Rationalizing Denominators)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 51-56
- ເຮົາສາມາດບວກ ຫຼື ລົບສຳນວນເລກຮາກທີ່ມີ 'ຮາກດຽວກັນ' ໄດ້ໂດຍກົງ ຄ້າຍຄືກັບການບວກລົບພົດຄ້າຍຄືກັນໃນພະຫຸພົດ:
a√x + b√x = (a + b)√x
- ຖ້າຮາກຕ່າງກັນ, ເຮົາຕ້ອງແຍກສ່ວນປະກອບເພື່ອຄັດຈ້ອນໃຫ້ເປັນຮາກຂັ້ນຕ່ຳກ່ອນ ແລ້ວຈຶ່ງນຳມາບວກລົບກັນ.
ຄິດໄລ່: √12 - √108 + √27
- ປ່ຽນແຕ່ລະພົດ: √12 = 2√3 ; √108 = 6√3 ; √27 = 3√3
- ບວກລົບເຂົ້າກັນ: 2√3 - 6√3 + 3√3 = (2 - 6 + 3)√3 = -√3.
ພາກທີ I - ບົດທີ 10: ການຄິດໄລ່ໜວດຄຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ (Calculations with Radicals)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ ແລະ ຄັດຈ້ອນສຳນວນລຸ່ມນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນທີ່ມີຕົວປ່ຽນ (ຮູ້ວ່າ x, y ≥ 0): (5 ຄະແນນ)
ຄັດຈ້ອນ: √(27x³y) - √(12x³y)
ພາກທີ I - ບົດທີ 10: ການຄິດໄລ່ໜວດຄຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ (Calculations with Radicals)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການບວກ, ລົບ, ຄູນ, ຫານສຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ, ການຄິດໄລ່ໂດຍໃຊ້ຈຳນວນຄູ່ຮ່ວມ (Conjugates), ແລະ ວິທີການຄັດຮາກອອກຈາກພູດ (Rationalizing Denominators)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 51-56
- ຈຳນວນຄູ່ຮ່ວມຂອງສຳນວນ (a - √b) ແມ່ນ (a + √b). ເມື່ອເຮົານຳເອົາສອງສຳນວນນີ້ມາຄູນກັນ ຈະເຮັດໃຫ້ເຄື່ອງໝາຍຮາກຂັ້ນສອງໝົດໄປ ຕາມເອກະລັກຜົນຕ່າງກຳລັງສອງ:
(a - √b)(a + √b) = a² - b- ວິທີການຄັດຮາກອອກຈາກພູດ: ແມ່ນການຄູນທັງຕົວເສດ ແລະ ຕົວພູດດ້ວຍຈຳນວນຄູ່ຮ່ວມຂອງຕົວພູດ ເພື່ອບໍ່ໃຫ້ມີຮາກຢູ່ພູດ.
ຄັດຮາກຂອງ: 3 / (√5 - 2)
- ຄູນຄູ່ຮ່ວມ (√5 + 2) ໃສ່ທັງເສດ ແລະ ພູດ:
3(√5 + 2) / ((√5 - 2)(√5 + 2)) = 3(√5 + 2) / (5 - 4) = 3(√5 + 2).
ພາກທີ I - ບົດທີ 10: ການຄິດໄລ່ໜວດຄຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ (Calculations with Radicals)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄັດຮາກອອກຈາກພູດຂອງສຳນວນລຸ່ມນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຄູນຈຳນວນຄູ່ຮ່ວມຕໍ່ໄປນີ້: (5 ຄະແນນ)
ຄິດໄລ່: (3√2 - 2√5)(3√2 + 2√5)
ພາກທີ I - ບົດທີ 10: ການຄິດໄລ່ໜວດຄຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ (Calculations with Radicals)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການຫານສຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ (Division of Radicals): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ ແລະ ຄັດຈ້ອນ: [ (√5 + 2) / (√3 - 2) ] ÷ [ (√3 + 2) / (√5 - 2) ]. (ແນະນຳ: ປ່ຽນຫານເປັນຄູນ ປີ້ນເສດສ່ວນ)
ໂຈດການຄັດຮາກຂັ້ນສາມອອກຈາກພູດ (Rationalizing Cubic Root): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຮາກອອກຈາກພູດຂອງສຳນວນ: 1 / (³√3 - ³√2). (ຊອກຫາຕົວພູດຫຼັງຈາກຄັດຮາກແລ້ວ)
ພາກທີ I - ບົດທີ 10 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການຄິດໄລ່ໜວດຄຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ (Calculations with Radicals) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການຄັດຈ້ອນຂັ້ນພື້ນຖານ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນ: (√3 + √5)²
ການບວກລົບຮາກຂັ້ນສາມ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນ: ³√81 - ³√9
ພາກທີ I - ບົດທີ 11: ການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Solving Radical Equations)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບວິທີການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Radical Equations), ການກໍານົດເງື່ອນໄຂ ຫຼື ເຂດກໍານົດຂອງສົມຜົນ, ແລະ ການກວດຄືນໃຈຜົນເພື່ອຕັດໃຈຜົນນອກຂອບເຂດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 58-61
ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງພື້ນຖານຢູ່ໃນຮູບແບບ √A = B. ເພື່ອແກ້ສົມຜົນນີ້ ເຮົາຕ້ອງປະຕິບັດຕາມຫຼັກການ:
ສົມຜົນ √A = B ສາມາດແກ້ໄດ້ກໍຕໍ່ເມື່ອ:
B ≥ 0 ແລະ A = B²
ຕົວຢ່າງ: ແກ້ສົມຜົນ √2x - 1 = x - 2.
- ເງື່ອນໄຂ: x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.
- ຂຶ້ນກຳລັງສອງທັງສອງພາກ: 2x - 1 = (x - 2)² ⇒ 2x - 1 = x² - 4x + 4 ⇒ x² - 6x + 5 = 0.
- ແກ້ສົມຜົນໄດ້: x = 1 ຫຼື x = 5.
- ກວດເບິ່ງເງື່ອນໄຂ x ≥ 2: ພົບວ່າ x = 1 (ຂັດກັບເງື່ອນໄຂ) ແລະ x = 5 (ສອດຄ່ອງ). ດັ່ງນັ້ນ ໃຈຜົນແມ່ນ S = {5}.
ພາກທີ I - ບົດທີ 11: ການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Solving Radical Equations)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງພື້ນຖານຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ ແລະ ກວດຄືນເງື່ອນໄຂ: (5 ຄະແນນ)
ແກ້ສົມຜົນ: √(x² - 3x + 4) = x - 1. (ເງື່ອນໄຂ x ≥ 1)
ພາກທີ I - ບົດທີ 11: ການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Solving Radical Equations)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບວິທີການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Radical Equations), ການກໍານົດເງື່ອນໄຂ ຫຼື ເຂດກໍານົດຂອງສົມຜົນ, ແລະ ການກວດຄືນໃຈຜົນເພື່ອຕັດໃຈຜົນນອກຂອບເຂດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 58-61
- ເມື່ອສົມຜົນມີຫຼາຍເລກຮາກ, ເຮົາຄວນຍ້າຍພົດໃຫ້ຮາກຢູ່ແຕ່ລະພາກຂອງສົມຜົນ ເພື່ອໃຫ້ງ່າຍໃນການຂຶ້ນກຳລັງສອງ.
- ຫຼັງຈາກຂຶ້ນກຳລັງສອງເທື່ອທຳອິດແລ້ວ, ຖ້າຍັງມີຮາກເຫຼືອຢູ່, ໃຫ້ຈັດກຸ່ມໃຫ້ຮາກຢູ່ພາກດຽວ ແລ້ວຂຶ້ນກຳລັງສອງອີກເທື່ອໜຶ່ງ.
ແກ້ສົມຜົນ: √(x + 7) - √(2x - 8) = 1
- ຍ້າຍພົດ: √(x + 7) = 1 + √(2x - 8)
- ເງື່ອນໄຂ: x ≥ 4.
- ແກ້ສົມຜົນ ແລະ ຂຶ້ນກຳລັງສອງສອງເທື່ອ ຈະໄດ້ໃຈຜົນ S = {9}.
ພາກທີ I - ບົດທີ 11: ການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Solving Radical Equations)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນສອງຮາກຕໍ່ໄປນີ້: (5 ຄະແນນ)
ແກ້ສົມຜົນ: √(x + 7) - √(2x - 8) = 1
ໂຈດບັນຫາຟີຊິກສາດເລື່ອງ Pendulum (ເວລາແກວ່ງຂອງລູກຕຸ້ມ): (5 ຄະແນນ)
ສູດເວລາແກວ່ງຂອງລູກຕຸ້ມແມ່ນ: T = 2π√(L / g). ຖ້າເຮົາປ່ຽນສູດນີ້ເພື່ອຊອກຫາ L (ຄວາມຍາວລູກຕຸ້ມ), ຈະໄດ້ L ເທົ່າກັບເທົ່າໃດ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 11: ການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Solving Radical Equations)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງຍາກ (Advanced Radical Equation): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ: √(3x + 1) - √(x - 1) = 2. (ຊອກຫາໃຈຜົນ x)
ໂຈດຟີຊິກສາດເລື່ອງ Rocket Escape Velocity (ຄວາມໄວຫຼຸດພົ້ນ): (5 ຄະແນນ)
ສູດຄວາມໄວຫຼຸດພົ້ນແມ່ນ: v = √(2GM / R). ຈົ່ງປ່ຽນສູດນີ້ເພື່ອຊອກຫາລັດສະໝີຂອງໂລກ R ຕາມຕົວປ່ຽນອື່ນໆ?
ພາກທີ I - ບົດທີ 11 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Solving Radical Equations) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງບໍ່ມີໃຈຜົນ (No Solution): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ: √(x - 5) = -3
ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງພື້ນຖານງ່າຍດາຍ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ: √(3x - 2) = 4
ພາກທີ I - ບົດທີ 12: ເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບນິຍາມຂອງເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents), ສູດຄິດໄລ່ກ່ຽວກັບເລກກຳລັງ, ແລະ ການຄັດຈ້ອນສຳນວນທີ່ມີເລກກຳລັງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 62-67
ຖ້າເຮົາມີຈຳນວນຈິງ a > 0 ແລະ ຈຳນວນຖ້ວນ p, q (ເຊິ່ງ q > 0), ເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກປົກກະຕິແມ່ນຖືກກຳນົດດ້ວຍ:
a^(p/q) = ⁿ√(a^p) = (ⁿ√a)^p
- ຕົວຢ່າງ 1: 8^(1/3) = ³√8 = ³√(2³) = 2
- ຕົວຢ່າງ 2: 9^(3/2) = (√9)³ = 3³ = 27
- ຕົວຢ່າງ 3: (-8)^(1/3) = ³√(-8) = -2
ພາກທີ I - ບົດທີ 12: ເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຫາຄ່າຂອງເລກກຳລັງຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ ແລະ ຄັດຈ້ອນສຳນວນ: (5 ຄະແນນ)
ຄິດໄລ່: x^(1/3) × x^(1/2) × x^(1/6)
ພາກທີ I - ບົດທີ 12: ເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບນິຍາມຂອງເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents), ສູດຄິດໄລ່ກ່ຽວກັບເລກກຳລັງ, ແລະ ການຄັດຈ້ອນສຳນວນທີ່ມີເລກກຳລັງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 62-67
ສໍາລັບພື້ນຖານ a, b > 0 ແລະ ຕົວຊີ້ບອກ p, q, ເຮົາມີສູດຄິດໄລ່ດັ່ງນີ້:
- 1. a^p × a^q = a^(p + q)
- 2. a^p / a^q = a^(p - q)
- 3. (a^p)^q = a^(p × q)
- 4. (a × b)^p = a^p × b^p
- 5. (a / b)^p = a^p / b^p ; (a / b)^(-p) = (b / a)^p
ພາກທີ I - ບົດທີ 12: ເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນພຶດຊະຄະນິດຕໍ່ໄປນີ້: (5 ຄະແນນ)
ຄັດຈ້ອນ: (a^(-2) · b³) · (a⁵ · b^(-1))
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນເລກກຳລັງຕໍ່ໄປນີ້: (5 ຄະແນນ)
ແກ້ສົມຜົນ: (x - 1)^(1/3) = 2
ພາກທີ I - ບົດທີ 12: ເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຄັດຈ້ອນເລກກຳລັງຫຼາຍພົດ (Advanced Simplification): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນສຳນວນ: (a^(2/3) · b^(-1/2))³ / (a · b^(-2)).
ໂຈດການຄິດໄລ່ເລກກຳລັງລວມ (Combined Calculation): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່: 8^(1/3) + 40^(1/2) / 10^(1/2) - (1600)^(1/4).
ພາກທີ I - ບົດທີ 12 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄິດໄລ່ກຳລັງທົດສະນິຍົມ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຫາຄ່າຂອງ: (0.25)^(-1/2)
ຄັດຈ້ອນສຳນວນຕົວປ່ຽນ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄັດຈ້ອນ: (x³ · y^(-2)) / (x · y³)
ພາກທີ II - ບົດທີ 13: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = x² (Quadratic Functions in form y = x²)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບລັກສະນະສະເພາະຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ y = x², ເສັ້ນສະແດງປາຣາໂບນຫງາຍ, ເຂດກຳນົດ ແລະ ເຂດຄ່າຂອງຕຳລາ, ແລະ ວິທີແກ້ສົມຜົນ-ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງດ້ວຍເສັ້ນສະແດງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 68-71
ຕຳລາຂັ້ນສອງ y = x² ມີເສັ້ນສະແດງເປັນເສັ້ນໂຄ້ງປາຣາໂບນ (Parabola) ທີ່ມີຄຸນລັກສະນະດັ່ງນີ້:
- ທິດທາງປາຣາໂບນ: ເປັນປາຣາໂບນຫງາຍ (opens upwards) ທີ່ມີສອງແຂນຊີ້ຂຶ້ນເທິງ.
- ເມັດຈອມ (Vertex): ຢູ່ເມັດເຄົ້າ O(0, 0) ເຊິ່ງເປັນເມັດຕ່ຳສຸດ (Minimum Point).
- ແກນເຄິ່ງຄື (Axis of Symmetry): ແມ່ນແກນ Oy (ສົມຜົນ x = 0).
- ທິດສະເໜີຕຳລາ (Monotonicity): ຕຳລາຫຼຸດ (decreasing) ໃນຫວ່າງ ]-∞, 0] ແລະ ເພີ່ມ (increasing) ໃນຫວ່າງ [0, +∞[.
- ເຂດຄ່າ (Range): ຕົວປ່ຽນ y ≥ 0 ສະເໝີ, ໝາຍຄວາມວ່າ ເຂດຄ່າແມ່ນ [0, +∞[.
ພາກທີ II - ບົດທີ 13: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = x² (Quadratic Functions in form y = x²)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເຂດຄ່າຂອງ y ຂອງຕຳລາ y = x² ຕາມຫວ່າງຂອງ x ທີ່ກຳນົດໃຫ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຫາເຂດຄ່າຂອງ y ຕາມເງື່ອນໄຂອະສົມຜົນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 13: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = x² (Quadratic Functions in form y = x²)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບລັກສະນະສະເພາະຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ y = x², ເສັ້ນສະແດງປາຣາໂບນຫງາຍ, ເຂດກຳນົດ ແລະ ເຂດຄ່າຂອງຕຳລາ, ແລະ ວິທີແກ້ສົມຜົນ-ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງດ້ວຍເສັ້ນສະແດງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 68-71
ເຮົາສາມາດແກ້ສົມຜົນ ແລະ ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ x² = k, x² ≤ k, x² > k ໂດຍການປຽບທຽບປາຣາໂບນ y = x² ກັບເສັ້ນຊື່ y = k:
- ສົມຜົນ x² = k ມີ 2 ໃຈຜົນແມ່ນ: x = -√k ຫຼື x = √k.
- ສົມຜົນ x² = -k ບໍ່ມີໃຈຜົນຕົວຈິງ (ເພາະປາຣາໂບນບໍ່ຕັດເສັ້ນຊື່ທີ່ຢູ່ກ້ອງແກນ Ox).
- ອະສົມຜົນ x² ≤ k ມີກຸ່ມໃຈຜົນແມ່ນ: -√k ≤ x ≤ √k (ຫວ່າງປິດ).
- ອະສົມຜົນ x² > k ມີກຸ່ມໃຈຜົນແມ່ນ: x < -√k ຫຼື x > √k (ຫວ່າງເປີດສອງຂ້າງ).
ພາກທີ II - ບົດທີ 13: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = x² (Quadratic Functions in form y = x²)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ ແລະ ອະສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ ແລະ ອະສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 13: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = x² (Quadratic Functions in form y = x²)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການຊອກຫາຫວ່າງຂອງ y ທີ່ຊັບຊ້ອນ (Complex Interval Range): (5 ຄະແນນ)
ຖ້າຕົວປ່ຽນ x ຢູ່ຫວ່າງ [-10, 1] ຂອງຕຳລາ y = x². ຈົ່ງຊອກຫາຫວ່າງຂອງ y ທີ່ສອດຄ່ອງ?
ໂຈດແກ້ອະສົມຜົນອັດຕາສ່ວນສອງຫວ່າງ (Double Bound Inequality): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ອະສົມຜົນ: 1/4 ≤ x² < 9/4. ຈົ່ງຊອກຫາຫວ່າງໃຈຜົນຂອງ x ເມື່ອ x > 0?
ພາກທີ II - ບົດທີ 13 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = x² (Quadratic Functions in form y = x²) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄຸນລັກສະນະເມັດຈອມ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງບອກຈຸດພິເສດຂອງເມັດຈອມຂອງປາຣາໂບນ y = x² ວ່າມັນແມ່ນເມັດສູງສຸດ ຫຼື ຕ່ຳສຸດ?
ການແກ້ອະສົມຜົນພື້ນຖານ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ອະສົມຜົນ: x² ≤ 0
ພາກທີ II - ບົດທີ 14: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = ax² (Quadratic Functions in form y = ax²)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບອິດທິພົນຂອງສຳປະສິດ a ຕໍ່ກັບຮູບຮ່າງຂອງປາຣາໂບນ y = ax², ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງປາຣາໂບນຫງາຍ (a > 0) ແລະ ປາຣາໂບນຂວ້ຳ (a < 0), ແລະ ການແກ້ໂຈດສົມຜົນ-ອະສົມຜົນດ້ວຍກຣາຟ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 72-76
ສຳປະສິດ a ຈະເປັນຕົວກຳນົດທັງທິດທາງ ແລະ ຄວາມກວ້າງ-ແຄບຂອງປາຣາໂບນ y = ax²:
- ຖ້າ a > 0: ປາຣາໂບນຫງາຍ (opens upwards), ມີເມັດ O(0,0) ເປັນເມັດຕ່ຳສຸດ. ເຂດຄ່າ y ∈ [0, +∞[.
- ຖ້າ a < 0: ປາຣາໂບນຂວ້ຳ (opens downwards), ມີເມັດ O(0,0) ເປັນເມັດສູງສຸດ. ເຂດຄ່າ y ∈ ]-∞, 0].
- ຄວາມກວ້າງ-ແຄບ: ຄ່າສຳບູນ |a| ຍິ່ງຫຼາຍ ປາຣາໂບນຈະຍິ່ງແຄບ (ຮີບ) ເຂົ້າຫາແກນ Oy. ຄ່າ |a| ຍິ່ງນ້ອຍ (ໃກ້ 0) ປາຣາໂບນຈະຍິ່ງກວ້າງອອກ.
ເຊັ່ນ: y = 2x² ຈະແຄບກວ່າ y = x² ແລະ y = (1/2)x² ຈະກວ້າງກວ່າ y = x².
ພາກທີ II - ບົດທີ 14: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = ax² (Quadratic Functions in form y = ax²)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເຂດຄ່າຂອງ y ຂອງຕຳລາ y = -2x² (ປາຣາໂບນຂວ້ຳ) ຕາມຫວ່າງຂອງ x: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງປຽບທຽບຄວາມແຄບ-ກວ້າງຂອງປາຣາໂບນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 14: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = ax² (Quadratic Functions in form y = ax²)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບອິດທິພົນຂອງສຳປະສິດ a ຕໍ່ກັບຮູບຮ່າງຂອງປາຣາໂບນ y = ax², ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງປາຣາໂບນຫງາຍ (a > 0) ແລະ ປາຣາໂບນຂວ້ຳ (a < 0), ແລະ ການແກ້ໂຈດສົມຜົນ-ອະສົມຜົນດ້ວຍກຣາຟ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 72-76
ການແກ້ສົມຜົນ ax² = k ແມ່ນການຊອກຫາຈຸດຕັດລະຫວ່າງປາຣາໂບນ y = ax² ແລະ ເສັ້ນຊື່ y = k:
ສົມຜົນ: ax² = k ⇒ x² = k/a.
- ຖ້າ k/a > 0: ຈະມີ 2 ໃຈຜົນແມ່ນ: x = ±√(k/a).
- ຖ້າ k/a = 0: ຈະມີ 1 ໃຈຜົນແມ່ນ: x = 0.
- ຖ້າ k/a < 0: ສົມຜົນບໍ່ມີໃຈຜົນຕົວຈິງ.
ພາກທີ II - ບົດທີ 14: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = ax² (Quadratic Functions in form y = ax²)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຫາຫວ່າງຂອງຕົວປ່ຽນ x: (5 ຄະແນນ)
ຖ້າຕຳລາ y = -2x² ມີເຂດຄ່າ y ຢູ່ຫວ່າງ [-8, -2]. ຈົ່ງຊອກຫາຫວ່າງຂອງ x ທີ່ສອດຄ່ອງ (ສໍາລັບ x > 0)?
ພາກທີ II - ບົດທີ 14: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = ax² (Quadratic Functions in form y = ax²)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດແກ້ອະສົມຜົນປາຣາໂບນຂວ້ຳ (Quadratic Inequality of Negative Parabola): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ອະສົມຜົນ: -3x² ≥ -12. ຈົ່ງຫາຫວ່າງໃຈຜົນຂອງ x?
ໂຈດຊອກຫາຄົງຄ່າ a ຈາກກຣາຟ (Finding Coefficient a from Point): (5 ຄະແນນ)
ປາຣາໂບນ y = ax² ຜ່ານເມັດ A(2, -12). ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງສຳປະສິດ a ຂອງຕຳລານີ້?
ພາກທີ II - ບົດທີ 14 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = ax² (Quadratic Functions in form y = ax²) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ທິດສະເໜີຂອງປາຣາໂບນຂວ້ຳ: (5 ຄະແນນ)
ຕຳລາ y = -x² (a < 0) ຈະເພີ່ມ (increasing) ໃນຫວ່າງໃດ?
ແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນກຳລັງສອງ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ສົມຜົນ: -3x² = 27
ພາກທີ II - ບົດທີ 15: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-b)² (Quadratic Functions in form y = a(x-b)²)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການຍ້າຍຂະໜານປາຣາໂບນຕາມແກນນອນ (ແກນ Ox) ດ້ວຍໄລຍະ b, ສຶກສາຈຸດຈອມ S(b, 0), ສົມຜົນແກນເຄິ່ງຄື x = b, ແລະ ການຜັນປ່ຽນຂອງຕຳລາ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 77-80
ກຣາຟຂອງຕຳລາ y = a(x-b)² ໄດ້ມາຈາກການຍ້າຍຂະໜານກຣາຟຂອງຕຳລາ y = ax² ຕາມແກນນອນ (Ox):
- ຖ້າ b > 0: ຍ້າຍຂະໜານໄປທາງຂວາ b ຫົວໜ່ວຍ.
- ຖ້າ b < 0: ຍ້າຍຂະໜານໄປທາງຊ້າຍ |b| ຫົວໜ່ວຍ.
- ເມັດຈອມ (Vertex): S(b, 0) ເຊິ່ງຈະຢູ່ເທິງແກນ Ox ສະເໝີ.
- ແກນເຄິ່ງຄື (Axis of Symmetry): ແມ່ນເສັ້ນຊື່ x = b (ຂະໜານກັບແກນ Oy).
ພາກທີ II - ບົດທີ 15: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-b)² (Quadratic Functions in form y = a(x-b)²)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງກຳນົດທິດທາງການຍ້າຍຂະໜານ ແລະ ເມັດຈອມຂອງປາຣາໂບນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາສົມຜົນແກນເຄິ່ງຄື x = b ຂອງປາຣາໂບນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 15: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-b)² (Quadratic Functions in form y = a(x-b)²)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການຍ້າຍຂະໜານປາຣາໂບນຕາມແກນນອນ (ແກນ Ox) ດ້ວຍໄລຍະ b, ສຶກສາຈຸດຈອມ S(b, 0), ສົມຜົນແກນເຄິ່ງຄື x = b, ແລະ ການຜັນປ່ຽນຂອງຕຳລາ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 77-80
ທິດທາງການຜັນປ່ຽນຂອງ y = a(x-b)² ຈະແບ່ງໂດຍແກນເຄິ່ງຄື x = b:
- ຕຳລາຈະຫຼຸດ (decreasing) ໃນຫວ່າງ ]-∞, b]
- ຕຳລາຈະເພີ່ມ (increasing) ໃນຫວ່າງ [b, +∞[
- ຕຳລາຈະເພີ່ມ (increasing) ໃນຫວ່າງ ]-∞, b]
- ຕຳລາຈະຫຼຸດ (decreasing) 在ຫວ່າງ [b, +∞[
ພາກທີ II - ບົດທີ 15: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-b)² (Quadratic Functions in form y = a(x-b)²)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງກຳນົດຫວ່າງເພີ່ມ ຫຼື ຫຼຸດຂອງຕຳລາ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ y ຈາກສົມຜົນ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຕຳລາ y = -2(x - 3)². ຖ້າ x = 1, ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງ y ທີ່ສອດຄ່ອງ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 15: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-b)² (Quadratic Functions in form y = a(x-b)²)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາສົມຜົນປາຣາໂບນຈາກເມັດຈອມ ແລະ ເມັດຜ່ານ: (5 ຄະແນນ)
ປາຣາໂບນ y = a(x-b)² ມີເມັດຈອມຢູ່ S(3, 0) ແລະ ຜ່ານເມັດ A(5, 8). ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງສຳປະສິດ a?
ໂຈດການແກ້ສົມຜົນກຳລັງສອງ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາໃຈຜົນຂອງສົມຜົນ: 3(x - 2)² = 27 (ຊອກຫາຄ່າ x ທັງໝົດ)?
ພາກທີ II - ບົດທີ 15 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-b)² (Quadratic Functions in form y = a(x-b)²) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຈຳນວນເມັດຕັດລະຫວ່າງປາຣາໂບນ ແລະ ແກນ Ox: (5 ຄະແນນ)
ປາຣາໂບນໃນຮູບຮ່າງ y = a(x - b)² ຕັດ (ຫຼື ສຳຜັດ) ກັບແກນ Ox ຢູ່ຈັກເມັດ?
ການສົມທຽບຕຳລາ: (5 ຄະແນນ)
ຖ້າປາຣາໂບນ y = -4(x - b)² ຖືກຍ້າຍຂະໜານມາຈາກ y = ax² ຕາມແກນ Ox. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ a?
ພາກທີ II - ບົດທີ 16: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-p)² + q (Quadratic Functions in form y = a(x-p)² + q)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການຍ້າຍຂະໜານປາຣາໂບນທັງສອງທິດທາງ (ແກນ Ox ແລະ ແກນ Oy), ສຶກສາເມັດຈອມ S(p, q), ສົມຜົນແກນເຄິ່ງຄື x = p, ແລະ ການກຳນົດຄ່າສູງສຸດ/ຕ່ຳສຸດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 81-82
ກຣາຟຂອງຕຳລາ y = a(x-p)² + q ໄດ້ມາຈາກການຍ້າຍຂະໜານກຣາຟ y = ax² ທັງສອງແກນ:
- ຕາມແກນນອນ Ox ດ້ວຍໄລຍະ p ຫົວໜ່ວຍ (ໄປທາງຂວາຖ້າ p > 0, ໄປທາງຊ້າຍຖ້າ p < 0).
- ຕາມແກນຕັ້ງ Oy ດ້ວຍໄລຍະ q ຫົວໜ່ວຍ (ຂຶ້ນເທິງຖ້າ q > 0, ລົງລຸ່ມຖ້າ q < 0).
- ເມັດຈອມ (Vertex): S(p, q)
- ແກນເຄິ່ງຄື (Axis of Symmetry): ແມ່ນເສັ້ນຊື່ x = p
ພາກທີ II - ບົດທີ 16: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-p)² + q (Quadratic Functions in form y = a(x-p)² + q)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງກຳນົດເມັດຈອມ ແລະ ແກນເຄິ່ງຄືຂອງປາຣາໂບນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາໄລຍະການຍ້າຍຂະໜານ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 16: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-p)² + q (Quadratic Functions in form y = a(x-p)² + q)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບການຍ້າຍຂະໜານປາຣາໂບນທັງສອງທິດທາງ (ແກນ Ox ແລະ ແກນ Oy), ສຶກສາເມັດຈອມ S(p, q), ສົມຜົນແກນເຄິ່ງຄື x = p, ແລະ ການກຳນົດຄ່າສູງສຸດ/ຕ່ຳສຸດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 81-82
ຄ່າຂອງສຳປະສິດ a ເປັນຕົວກຳນົດວ່າຕຳລາຈະມີຄ່າສູງສຸດ ຫຼື ຕ່ຳສຸດ:
- ຕຳລາມີຄ່າຕ່ຳສຸດ (minimum value) ແມ່ນ y = q ຢູ່ເມັດຈອມ S(p, q).
- ເຂດຄ່າຂອງຕຳລາແມ່ນ y ∈ [q, +∞[.
- ຕຳລາມີຄ່າສູງສຸດ (maximum value) ແມ່ນ y = q ຢູ່ເມັດຈອມ S(p, q).
- ເຂດຄ່າຂອງຕຳລາແມ່ນ y ∈ ]-∞, q].
ພາກທີ II - ບົດທີ 16: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-p)² + q (Quadratic Functions in form y = a(x-p)² + q)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ ຫຼື ຄ່າຕ່ຳສຸດຂອງຕຳລາຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງກຳນົດເຂດຄ່າຂອງ y ຂອງຕຳລາ: (5 ຄະແນນ)
ກຳນົດຕຳລາ y = 3(x - 2)² + 1. ເຂດຄ່າຂອງ y ແມ່ນ y ≥ q. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ q?
ພາກທີ II - ບົດທີ 16: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-p)² + q (Quadratic Functions in form y = a(x-p)² + q)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາສົມຜົນປາຣາໂບນຂັ້ນສູງ: (5 ຄະແນນ)
ປາຣາໂບນ y = a(x - p)² + q ມີເມັດຈອມຢູ່ S(2, 9) ແລະ ຜ່ານເມັດ A(4, -3). ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງສຳປະສິດ a?
ໂຈດຊອກຫາເມັດຕັດລະຫວ່າງປາຣາໂບນ ແລະ ແກນ Ox: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າ x ທີ່ເປັນເມັດຕັດລະຫວ່າງປາຣາໂບນ y = 2(x - 3)² - 8 ແລະ ແກນ Ox (ຊອກຫາ x ທັງໝົດ)?
ພາກທີ II - ບົດທີ 16 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-p)² + q (Quadratic Functions in form y = a(x-p)² + q) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການເຄື່ອນຍ້າຍເມັດຈອມ: (5 ຄະແນນ)
ຖ້າເຮົາເຄື່ອນຍ້າຍປາຣາໂບນ y = -2(x - 3)² + 4 ໄປທາງຊ້າຍ 3 ຫົວໜ່ວຍ ແລະ ລົງລຸ່ມ 4 ຫົວໜ່ວຍ ຈະໄດ້ເມັດຈອມໃໝ່ແມ່ນຫຍັງ?
ການສົມທຽບຕຳລາຂວ້ຳ: (5 ຄະແນນ)
ຕຳລາ y = -5(x - 4)² + 10 ຈະຫຼຸດ (decreasing) ໃນຫວ່າງໃດ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 17: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = ax² + bx + c (Quadratic Functions in form y = ax² + bx + c)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຜັນປ່ຽນຕຳລາຂັ້ນສອງທົ່ວໄປໃຫ້ເປັນຮູບຮ່າງ标准 (Canonical form), ກຳນົດເມັດຈອມ S(-b/2a, -Δ/4a), ຊອກຫາແກນເຄິ່ງຄື x = -b/2a, ແລະ ຊອກຫາສົມຜົນຕຳລາຈາກເມັດຈຸດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 83-85
ຕຳລາຂັ້ນສອງ y = ax² + bx + c ສາມາດຂຽນໃນຮູບຮ່າງ Canonical ໄດ້ດັ່ງນີ້:
ເຊິ່ງໃນນີ້: Δ = b² - 4ac
- ເມັດຈອມ (Vertex): S(-b/(2a), -Δ/(4a)) ຫຼຶ S(p, q) ເຊິ່ງ p = -b/(2a) ແລະ q = -Δ/(4a).
- ສົມຜົນແກນເຄິ່ງຄື: x = -b/(2a).
ວິທີງ່າຍໃນການຊອກຫາເມັດຈອມແມ່ນ ຄິດໄລ່ x_0 = -b/(2a) ກ່ອນ, ຫຼັງຈາກນັ້ນແທນ x_0 ໃສ່ສົມຜົນເພື່ອຊອກຫາ y_0 = f(x_0).
ພາກທີ II - ບົດທີ 17: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = ax² + bx + c (Quadratic Functions in form y = ax² + bx + c)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເມັດຈອມ ແລະ ແກນເຄິ່ງຄືຂອງປາຣາໂບນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຂຽນຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ Canonical: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 17: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = ax² + bx + c (Quadratic Functions in form y = ax² + bx + c)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຜັນປ່ຽນຕຳລາຂັ້ນສອງທົ່ວໄປໃຫ້ເປັນຮູບຮ່າງ标准 (Canonical form), ກຳນົດເມັດຈອມ S(-b/2a, -Δ/4a), ຊອກຫາແກນເຄິ່ງຄື x = -b/2a, ແລະ ຊອກຫາສົມຜົນຕຳລາຈາກເມັດຈຸດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 83-85
- ການຊອກຫາສົມຜົນ y = ax² + bx + c ທີ່ຜ່ານ 3 ເມັດທີ່ໃຫ້ມາ:
ແທນຕົວປະສານ (x, y) ຂອງແຕ່ລະເມັດໃສ່ສົມຜົນ ເພື່ອສ້າງລະບົບສົມຜົນ 3 ຕົວປ່ຽນ (a, b, c) ແລ້ວແກ້ລະບົບສົມຜົນນັ້ນ.
ໄລຍະການຍ້າຍຂະໜານຈາກ y_1 = a(x - p_1)² + q_1 ຫາ y_2 = a(x - p_2)² + q_2 ແມ່ນ:
- ຕາມແກນ Ox: p_2 - p_1
- ຕາມແກນ Oy: q_2 - q_1
ພາກທີ II - ບົດທີ 17: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = ax² + bx + c (Quadratic Functions in form y = ax² + bx + c)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາໄລຍະການຍ້າຍຂະໜານລະຫວ່າງສອງປາຣາໂບນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແនນ)
ຍ້າຍປາຣາໂບນ y = x² + 2x + 2 (ເມັດຈອມ S_1(-1, 1)) ເພື່ອໃຫ້ກາຍເປັນ y = x² - 6x + 7 (ເມັດຈອມ S_2(3, -2)):
ຈົ່ງຊອກຫາຕຳລາຜ່ານສາມເມັດ: (5 ຄະແນນ)
ຕຳລາ y = ax² + bx + c ຜ່ານສາມເມັດ A(-1, 8), B(2, 2) ແລະ C(3, 4). ຈົ່ງຊອກຫາສຳປະສິດ b ຂອງຕຳລານີ້?
ພາກທີ II - ບົດທີ 17: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = ax² + bx + c (Quadratic Functions in form y = ax² + bx + c)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາສົມຜົນປາຣາໂບນຈາກເງື່ອນໄຂຈຸດຈອມ: (5 ຄະແນນ)
ປາຣາໂບນ y = ax² + bx + c ມີເມັດຈອມຢູ່ S(1, -2) ແລະ ຜ່ານເມັດ A(2, 0). ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ c?
ໂຈດການແກ້ສົມຜົນຕັດແກນ Ox: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາເມັດຕັດທັງໝົດຂອງປາຣາໂບນ y = x² - 4x - 5 ກັບແກນ Ox (ຄ່າຂອງ x ທັງໝົດ)?
ພາກທີ II - ບົດທີ 17 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = ax² + bx + c (Quadratic Functions in form y = ax² + bx + c) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການກຳນົດທິດສະແດງປາຣາໂບນ: (5 ຄະແນນ)
ປາຣາໂບນ y = -2x² + 8x - 5 ເປັນປາຣາໂບນຫງາຍ ຫຼື ຂວ້ຳ, ແລະ ມີຄ່າສູງສຸດ ຫຼື ຕ່ຳສຸດ?
ໄລຍະຕັດແກນ Oy: (5 ຄະແນນ)
ປາຣາໂບນ y = 3x² - 5x - 7 ຕັດແກນ Oy ຢູ່ຈຸດໃດ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 18: ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ (Maximum and Minimum of Quadratic Functions)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ (max) ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດ (min) ຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ y = ax² + bx + c ທັງໃນກໍລະນີບໍ່ມີຂອບເຂດ ແລະ ກໍລະນີມີຂອບເຂດກຳນົດຫວ່າງຂອງ x
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 86-88
ຄ່າສູງສຸດ ຫຼື ຕ່ຳສຸດຂອງ y = ax² + bx + c ຈະເກີດຂຶ້ນຢູ່ເມັດຈອມ S(p, q) ສະເໝີ:
- ມີຄ່າຕ່ຳສຸດແມ່ນ: min y = q = -Δ/(4a) ເມື່ອ x = -b/(2a).
- ບໍ່ມີຄ່າສູງສຸດ (max y ບໍ່ກຳນົດ).
- 有ຄ່າສູງສຸດແມ່ນ: max y = q = -Δ/(4a) ເມື່ອ x = -b/(2a).
- ບໍ່ມີຄ່າຕ່ຳສຸດ (min y ບໍ່ກຳນົດ).
ພາກທີ II - ບົດທີ 18: ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ (Maximum and Minimum of Quadratic Functions)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າສຸດຂີດຂອງຕຳລາຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຫາຄ່າສຸດຂີດຂອງຕຳລາກຳລັງສອງທົ່ວໄປ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 18: ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ (Maximum and Minimum of Quadratic Functions)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຊອກຫາຄ່າສູງສຸດ (max) ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດ (min) ຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ y = ax² + bx + c ທັງໃນກໍລະນີບໍ່ມີຂອບເຂດ ແລະ ກໍລະນີມີຂອບເຂດກຳນົດຫວ່າງຂອງ x
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 86-88
ເມື່ອຕົວປ່ຽນ x ຖືກຈຳກັດໃນຫວ່າງ [x_1, x_2], ວິທີຊອກຫາ max ແລະ min ແມ່ນ:
- ຊອກຫາຕົວປະສານ x ຂອງເມັດຈອມ: p = -b/(2a).
- ກວດເບິ່ງວ່າ p ຢູ່ຫວ່າງ [x_1, x_2] ຫຼື ບໍ່?
- ຄິດໄລ່ຄ່າ y ຢູ່ 3 ເມັດຄື: f(x_1), f(x_2), ແລະ f(p) (ຖ້າ p ຢູ່ຫວ່າງນັ້ນ).
- ປຽບທຽບຄ່າທັງໝົດ: ຄ່າຫຼາຍສຸດແມ່ນ max, ຄ່ານ້ອຍສຸດແມ່ນ min.
ພາກທີ II - ບົດທີ 18: ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ (Maximum and Minimum of Quadratic Functions)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາ max ແລະ min ຂອງຕຳລາໃນຫວ່າງທີ່ກຳນົດ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າສຸດຂີດຈາກການຍ້າຍຂະໜານ: (5 ຄະແນນ)
ຕຳລາ y = -x² + 6x + c ມີຄ່າສູງສຸດແມ່ນ 4. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ c?
ພາກທີ II - ບົດທີ 18: ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ (Maximum and Minimum of Quadratic Functions)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການຊອກຫາຜົນບວກສອງຕົວປ່ຽນ: (5 ຄະແນນ)
ກຳນົດໃຫ້ x + y = 6. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຕ່ຳສຸດ (minimum) ຂອງຜົນບວກກຳລັງສອງ P = x² + y²?
ໂຈດການນຳໃຊ້ຕົວຈິງ (ຂອບເຂດເນື້ອທີ່ສູງສຸດ): (5 ຄະແນນ)
ມີຮົ້ວອ້ອມຍາວ 40 ແມັດ ເພື່ອອ້ອມດິນຮູບສາມແຈສາກ (ຫຼື ຮູບສີ່ແຈສາກທີ່ມີ 3 ດ້ານ ເພາະອີກດ້ານຕິດຝາ). ໃນກໍລະນີອ້ອມຮູບສີ່ແຈສາກທີ່ມີ 4 ດ້ານ, ເນື້ອທີ່ສູງສຸດ S ທີ່ອ້ອມໄດ້ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 18 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ (Maximum and Minimum of Quadratic Functions) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄ່າສຸດຂີດຂອງຕຳລາຂວ້ຳ: (5 ຄະແນນ)
ຕຳລາ y = -3x² + 12x + 1 ມີຄ່າສູງສຸດ (max y) ເທົ່າໃດ?
ຄ່າສຸດຂີດຂອງຕຳລາໃນຫວ່າງທີ່ບໍ່ຜ່ານເມັດຈອມ: (5 ຄະແນນ)
ຕຳລາ y = x² - 2x + 5 ໃນຫວ່າງ [2, 5] (ເມັດຈອມ x=1 ຢູ່ນອກຫວ່າງ) ມີຄ່າຕ່ຳສຸດ min y ເທົ່າໃດ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 19: ເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ (Sign of Quadratic Trinomial)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການກວດສອບເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ f(x) = ax² + bx + c ໂດຍອີງໃສ່ສຳປະສິດ a ແລະ ຄ່າຂອງສາມກ່ຽວ Δ (Delta)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 89-91
ເຄື່ອງໝາຍຂອງ f(x) = ax² + bx + c ເມື່ອ Δ = b² - 4ac ບໍ່ເປັນບວກ:
f(x) ຈະມີເຄື່ອງໝາຍດຽວກັນກັບສຳປະສິດ a ສະເໝີ ສໍາລັບທຸກໆ x ∈ ℝ:
- ຖ້າ a > 0 ⇒ f(x) > 0 (ກຣາຟຢູ່ເໜືອແກນ Ox ທັງໝົດ).
- ຖ້າ a < 0 ⇒ f(x) < 0 (ກຣາຟຢູ່ກ້ອງແກນ Ox ທັງໝົດ).
f(x) ມີເຄື່ອງໝາຍດຽວກັນກັບ a ສໍາລັບທຸກ x ≠ x_0, ແລະ f(x_0) = 0:
- ຖ້າ a > 0 ⇒ f(x) ≥ 0 ສໍາລັບທຸກ x ∈ ℝ (ກຣາຟສຳຜັດແກນ Ox ຢູ່ເມັດ x_0).
- ຖ້າ a < 0 ⇒ f(x) ≤ 0 ສໍາລັບທຸກ x ∈ ℝ.
ພາກທີ II - ບົດທີ 19: ເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ (Sign of Quadratic Trinomial)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ Δ ແລະ ບອກເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາເງື່ອນໄຂຂອງ a ແລະ Δ ເພື່ອໃຫ້ຕຳລາເປັນບວກສະເໝີ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 19: ເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ (Sign of Quadratic Trinomial)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການກວດສອບເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ f(x) = ax² + bx + c ໂດຍອີງໃສ່ສຳປະສິດ a ແລະ ຄ່າຂອງສາມກ່ຽວ Δ (Delta)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 89-91
ເມື່ອ Δ > 0, ສົມຜົນ f(x) = 0 ມີ 2 ຮາກແຍກກັນແມ່ນ α ແລະ β (ສົມມຸດ α < β):
- ຫວ່າງລະຫວ່າງສອງຮາກ ]α, β[: f(x) ມີເຄື່ອງໝາຍ ຕ່າງ ກັບ a.
- ຫວ່າງນອກສອງຮາກ ]-∞, α[ ແລະ ]β, +∞[: f(x) ມີເຄື່ອງໝາຍ ຄື ກັບ a.
ພາກທີ II - ບົດທີ 19: ເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ (Sign of Quadratic Trinomial)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຫວ່າງເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ f(x) = x² - 5x + 6 (ຮາກແມ່ນ x = 2 ແລະ x = 3, a = 1 > 0):
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ x ທີ່ເຮັດໃຫ້ f(x) ມີເຄື່ອງໝາຍລົບ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ f(x) = -x² + x + 12 (ຮາກແມ່ນ x = -3 ແລະ x = 4, a = -1 < 0). ຫວ່າງທີ່ f(x) > 0 ແມ່ນຫວ່າງໃດ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 19: ເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ (Sign of Quadratic Trinomial)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາເງື່ອນໄຂພາຣາມີເຕີ (Parameter Constraints): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາເງື່ອນໄຂຂອງ c ເພື່ອໃຫ້ f(x) = x² - 6x + c > 0 ສໍາລັບທຸກໆ x ∈ ℝ?
ໂຈດວິເຄາະເຄື່ອງໝາຍຈາກກຣາຟ (Graphical Sign Analysis): (5 ຄະແນນ)
ປາຣາໂບນ y = f(x) ຕັດແກນ Ox ຢູ່ສອງເມັດ A(1, 0) ແລະ B(5, 0). ຖ້າ f(0) = -5. ຈົ່ງບອກວ່າ f(3) ມີເຄື່ອງໝາຍບວກ (+) ຫຼື ລົບ (-)?
ພາກທີ II - ບົດທີ 19 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ (Sign of Quadratic Trinomial) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດທີ່ມີ Δ < 0: (5 ຄະແນນ)
ໄຕພົດ f(x) = -2x² + 3x - 5 ມີເຄື່ອງໝາຍແນວໃດສໍາລັບທຸກ x ∈ ℝ?
ເຄື່ອງໝາຍໃນຫວ່າງຮາກ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ f(x) = 2x² - 8. ຮາກແມ່ນ x = -2 ແລະ x = 2. ໃນຫວ່າງ ]-2, 2[, f(x) ມີເຄື່ອງໝາຍແນວໃດ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 20: ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ຈຳນວນໃຈຜົນ (Quadratic Inequalities & Number of Roots)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການແກ້ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ax² + bx + c ≥ 0 (ຫຼື ≤ 0), ການພິສູດຈຳນວນໃຈຜົນຂອງສົມຜົນຂັ້ນສອງໂດຍໃຊ້ Δ, ແລະ ການຊອກຫາໃຈຜົນຖ້ວນຂອງສົມຜົນ 2 ຕົວປ່ຽນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 92-96
ການແກ້ອະສົມຜົນ ax² + bx + c > 0 (ຫຼື < 0, ≥ 0, ≤ 0) ແມ່ນການຫາຫວ່າງຂອງ x ທີ່ສອດຄ່ອງ:
- ແກ້ສົມຜົນ ax² + bx + c = 0 ເພື່ອຊອກຫາຮາກ α ແລະ β (ສົມມຸດ α < β).
- ສ້າງຕາຕະລາງເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ (ທາງໃນຫວ່າງຮາກຕ່າງເຄື່ອງໝາຍກັບ a, ທາງນອກຄືກັບ a).
- ເລືອກຫວ່າງທີ່ສອດຄ່ອງກັບເຄື່ອງໝາຍຂອງອະສົມຜົນ.
ພາກທີ II - ບົດທີ 20: ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ຈຳນວນໃຈຜົນ (Quadratic Inequalities & Number of Roots)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຈຳນວນໃຈຜົນຂອງສົມຜົນໂດຍໃຊ້ Δ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 20: ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ຈຳນວນໃຈຜົນ (Quadratic Inequalities & Number of Roots)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການແກ້ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ax² + bx + c ≥ 0 (ຫຼື ≤ 0), ການພິສູດຈຳນວນໃຈຜົນຂອງສົມຜົນຂັ້ນສອງໂດຍໃຊ້ Δ, ແລະ ການຊອກຫາໃຈຜົນຖ້ວນຂອງສົມຜົນ 2 ຕົວປ່ຽນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 92-96
- ການຊອກຫາເງື່ອນໄຂເພື່ອໃຫ້ຕຳລາເປັນບວກສະເໝີ y > 0 ສໍາລັບທຸກ x ∈ ℝ:
ຕ້ອງມີ a > 0 ແລະ Δ < 0 (ກຣາຟບໍ່ຕັດ Ox ແລະ ຫງາຍຂຶ້ນ).
ສໍາລັບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ໃຫ້ມີຕົວປ່ຽນ x ຕົວຈິງ, ເຮົາຈັດເປັນສົມຜົນຂັ້ນສອງຂອງ x:
x² - 2(y+1)x + (2y² - 8y + 10) = 0.
ເພື່ອໃຫ້ມີ x ຕົວຈິງ, ຕ້ອງມີ Δ' ≥ 0 ⇒ -(y - 3)² ≥ 0 ⇒ y = 3 (ຍ້ອນກຳລັງສອງບໍ່ມີທາງລົບ).
ພາກທີ II - ບົດທີ 20: ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ຈຳນວນໃຈຜົນ (Quadratic Inequalities & Number of Roots)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເງື່ອນໄຂພາຣາມີເຕີ k: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຊອກຫາຄ່າ k ເພື່ອໃຫ້ສົມຜົນ x² - 2kx + 9 = 0 ມີໃຈຜົນຕົວຈິງ:
ຈົ່ງຊອກຫາໃຈຜົນຖ້ວນ (x, y) ຂອງສົມຜົນ: (5 ຄະແນນ)
ສໍາລັບສົມຜົນ: x² - 2(y-1)x + 2y² - 4y + 5 = 0. ຊອກຫາຄ່າຂອງ y ທີ່ເປັນໄປໄດ້?
ພາກທີ II - ບົດທີ 20: ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ຈຳນວນໃຈຜົນ (Quadratic Inequalities & Number of Roots)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາເງື່ອນໄຂເພື່ອໃຫ້ຕຳລາເປັນບວກສະເໝີ: (5 ຄະແນນ)
ຊອກຫາຄ່າ k ເພື່ອໃຫ້ໄຕພົດ f(x) = x² + 2(k+1)x + (k+3) > 0 ສໍາລັບທຸກໆ x ∈ ℝ?
ໂຈດການແກ້ອະສົມຜົນລະຫວ່າງສອງປາຣາໂບນ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຫວ່າງໃຈຜົນຂອງອະສົມຜົນ x² - 4x + 3 < 2x - 2?
ພາກທີ II - ບົດທີ 20 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ຈຳນວນໃຈຜົນ (Quadratic Inequalities & Number of Roots) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຈຳນວນໃຈຜົນຕົວຈິງຂອງສົມຜົນ: (5 ຄະແນນ)
ສົມຜົນ 4x² - 12x + 9 = 0 ມີຈັກໃຈຜົນຕົວຈິງ?
ອະສົມຜົນທີ່ມີ Δ < 0: (5 ຄະແນນ)
ອະສົມຜົນ x² - 2x + 5 < 0 ມີກຸ່ມໃຈຜົນແນວໃດ (ເພາະ Δ = -16)?
ພາກທີ II - ບົດທີ 21: ທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງຂັ້ນສອງ (Relative Positions of Lines & Parabolas)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຊອກຫາຈຸດຕັດ ແລະ ການວິເຄາະທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ກັບປາຣາໂບນ, ຫຼື ລະຫວ່າງສອງປາຣາໂບນ ໂດຍນຳໃຊ້ຄ່າ Δ (Delta)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 97-99
ເພື່ອຊອກຫາທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ y = mx + n ແລະ ປາຣາໂບນ y = ax² + bx + c, ເຮົາແກ້ສົມຜົນຈຸດຕັດ:
ax² + (b - m)x + (c - n) = 0.
ຄິດໄລ່ Δ ຂອງສົມຜົນຂັ້ນສອງນີ້:
- ຖ້າ Δ > 0: ເສັ້ນຊື່ຕັດປາຣາໂບນຢູ່ 2 ເມັດແຍກກັນ.
- ຖ້າ Δ = 0: ເສັ້ນຊື່ສຳຜັດ (tangent) ປາຣາໂບນຢູ່ 1 ເມັດ.
- ຖ້າ Δ < 0: ເສັ້ນຊື່ ແລະ ປາຣາໂບນບໍ່ຕັດກັນ.
ພາກທີ II - ບົດທີ 21: ທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງຂັ້ນສອງ (Relative Positions of Lines & Parabolas)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງກຳນົດຈຳນວນຈຸດຕັດລະຫວ່າງປາຣາໂບນ ແລະ ເສັ້ນຊື່: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງວິເຄາະທີ່ຕັ້ງສຳພັດຂອງປາຣາໂບນ y = -x² + 2x - 4k ກັບແກນ Ox (y = 0): (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 21: ທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງຂັ້ນສອງ (Relative Positions of Lines & Parabolas)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຊອກຫາຈຸດຕັດ ແລະ ການວິເຄາະທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ກັບປາຣາໂບນ, ຫຼື ລະຫວ່າງສອງປາຣາໂບນ ໂດຍນຳໃຊ້ຄ່າ Δ (Delta)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 97-99
ເພື່ອຊອກຫາທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງສອງປາຣາໂບນ y_1 = a_1x² + b_1x + c_1 ແລະ y_2 = a_2x² + b_2x + c_2:
a_1x² + b_1x + c_1 = a_2x² + b_2x + c_2.
ຖ້າ a_1 ≠ a_2, ສົມຜົນນີ້ຈະເປັນສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ເຮົາກວດສອບ Δ ຂອງມັນ:
- ຖ້າ Δ > 0: ສອງປາຣາໂບນຕັດກັນຢູ່ 2 ເມັດ.
- ຖ້າ Δ = 0: ສອງປາຣາໂບນສຳຜັດ (ຕິດ) ກັນຢູ່ 1 ເມັດ.
- ຖ້າ Δ < 0: ສອງປາຣາໂບນບໍ່ຕັດກັນ.
ພາກທີ II - ບົດທີ 21: ທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງຂັ້ນສອງ (Relative Positions of Lines & Parabolas)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເງື່ອນໄຂພາຣາມີເຕີໃຫ້ສອງປາຣາໂບນສຳຜັດກັນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສອງປາຣາໂບນ y = x² ແລະ y = -x² + ax - 8. ພວກມັນສຳຜັດກັນ (Δ = a² - 64 = 0):
ຈົ່ງຊອກຫາຕົວປະສານຈຸດຕັດລະຫວ່າງສອງປາຣາໂບນ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສອງປາຣາໂບນ y = x² + 2x ແລະ y = -x² + 4. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ x ທັງໝົດທີ່ພວກມັນຕັດກັນ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 21: ທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງຂັ້ນສອງ (Relative Positions of Lines & Parabolas)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາສົມຜົນເສັ້ນຊື່ສຳຜັດ (Tangent Line Equation): (5 ຄະແນນ)
ເສັ້ນຊື່ y = 2x + n ສຳຜັດກັບປາຣາໂບນ y = x² + 4x + 2. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ n?
ໂຈດເງື່ອນໄຂບໍ່ຕັດກັນຂອງສອງປາຣາໂບນ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສອງປາຣາໂບນ y = x² - 2x + 3 ແລະ y = -x² + 2x - k. ຊອກຫາເງື່ອນໄຂຂອງ k ເພື່ອໃຫ້ສອງປາຣາໂບນນີ້ບໍ່ຕັດກັນ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 21 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງຂັ້ນສອງ (Relative Positions of Lines & Parabolas) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ທີ່ຕັ້ງສຳພັດເມື່ອ Δ < 0: (5 ຄະແ念)
ຖ້າສົມຜົນຈຸດຕັດລະຫວ່າງປາຣາໂບນ ແລະ ເສັ້ນຊື່ມີ Δ = -12. ທີ່ຕັ້ງສຳພັດຂອງພວກມັນແມ່ນຫຍັງ?
ຈຸດຕັດລະຫວ່າງ y = x² ແລະ y = -x² + 8: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຈຳນວນເມັດຕັດລະຫວ່າງສອງປາຣາໂບນນີ້?
ພາກທີ II - ບົດທີ 22: ສູດວີແອດ (Vieta's Formulas)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ສູດວີແອດກ່ຽວກັບຜົນບວກ ແລະ ຜົນຄູນຂອງຮາກສົມຜົນຂັ້ນສອງ, ການຄິດໄລ່ສຳນວນສົມມາດຂອງຮາກ, ແລະ ການສ້າງສົມຜົນຂັ້ນສອງຈາກຮາກທີ່ກຳນົດ
ปຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 100-102
ສໍາລັບສົມຜົນຂັ້ນສອງ ax² + bx + c = 0 ທີ່ມີສອງຮາກ α ແລະ β, ສູດວີແອດກຳນົດວ່າ:
- ຜົນບວກຂອງຮາກ (Sum, S): S = α + β = -b/a
- ຜົນຄູນຂອງຮາກ (Product, P): P = α × β = c/a
- α² + β² = (α + β)² - 2αβ = S² - 2P
- 1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = S/P
- (α - β)² = (α + β)² - 4αβ = S² - 4P
ພາກທີ II - ບົດທີ 22: ສູດວີແອດ (Vieta's Formulas)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໃຫ້ສົມຜົນ 2x² - 3x - 4 = 0 ທີ່ມີຮາກແມ່ນ α ແລະ β. ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງສຳນວນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງສ້າງສົມຜົນຂັ້ນສອງຈາກຮາກທີ່ໃຫ້ມາ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 22: ສູດວີແອດ (Vieta's Formulas)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ສູດວີແອດກ່ຽວກັບຜົນບວກ ແລະ ຜົນຄູນຂອງຮາກສົມຜົນຂັ້ນສອງ, ການຄິດໄລ່ສຳນວນສົມມາດຂອງຮາກ, ແລະ ການສ້າງສົມຜົນຂັ້ນສອງຈາກຮາກທີ່ກຳນົດ
ปຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 100-102
- ຖ້າຫວ່າງໃຈຜົນຂອງອະສົມຜົນ x² + ax + b < 0 ແມ່ນ ]x_1, x_2[:
ຫມາຍຄວາມວ່າ x_1 ແລະ x_2 ແມ່ນສອງຮາກຂອງສົມຜົນ x² + ax + b = 0. ດັ່ງນັ້ນ:
S = x_1 + x_2 = -a ແລະ P = x_1 × x_2 = b.
ໃຫ້ຫວ່າງໃຈຜົນຂອງ x² + ax + b < 0 ແມ່ນ ]1/3, 1/2[. ຊອກຫາ a ແລະ b:
- S = 1/3 + 1/2 = 5/6 ⇒ a = -5/6
- P = 1/3 × 1/2 = 1/6 ⇒ b = 1/6.
ພາກທີ II - ບົດທີ 22: ສູດວີແອດ (Vieta's Formulas)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາສຳປະສິດຈາກຫວ່າງໃຈຜົນທີ່ກຳນົດ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຖ້າຫວ່າງໃຈຜົນຂອງອະສົມຜົນ x² + ax + b < 0 ແມ່ນ ]2, 5[:
ຈົ່ງຊອກຫາພາຣາມີເຕີ m ຈາກຄວາມສຳພັນຂອງຮາກ: (5 ຄະແນນ)
ສົມຜົນ x² - 8x + m = 0 ມີຮາກໜຶ່ງໃຫຍ່ກວ່າອີກຮາກໜຶ່ງ 2 ຫົວໜ່ວຍ (β - α = 2). ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ m?
ພາກທີ II - ບົດທີ 22: ສູດວີແອດ (Vieta's Formulas)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາສຳນວນກຳລັງສາມຂອງຮາກ (Sum of Cubes): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສົມຜົນ x² - 3x + 1 = 0 ມີຮາກແມ່ນ α ແລະ β. ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງ α³ + β³?
ໂຈດການຊອກຫາສົມຜົນໃໝ່ (New Quadratic Equation): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ α, β ແມ່ນຮາກຂອງ x² - 4x + 2 = 0. ຈົ່ງສ້າງສົມຜົນຂັ້ນສອງໃໝ່ທີ່ມີຮາກແມ່ນ 2α ແລະ 2β. ສົມຜົນນັ້ນມີຮູບຮ່າງ x² - Sx + P = 0. ຈົ່ງຊອກຫາ P?
ພາກທີ II - ບົດທີ 22 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ສູດວີແອດ (Vieta's Formulas) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄ່າຂອງຜົນຄູນຮາກ: (5 ຄະແນນ)
ສົມຜົນ -3x² + 9x - 12 = 0 ມີຜົນຄູນຂອງຮາກ P = αβ ເທົ່າໃດ?
ຄ່າຂອງຜົນບວກກຳລັງສອງຂອງຮາກ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສົມຜົນ x² - 5x + 3 = 0. ຈົ່ງຄິດໄລ່ α² + β²?
ພາກທີ II - ບົດທີ 23: ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກ (Systems of Quadratic Inequalities & Root Signs)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການແກ້ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ, ການກວດສອບເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກສົມຜົນ (ຮາກບວກ, ຮາກລົບ, ຮາກຕ່າງເຄື່ອງໝາຍ) ໂດຍໃຊ້ Δ, S, P ແລະ ການປຽບທຽບຮາກກັບຈຳນວນ k
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 103-108
ການແກ້ລະບົບອະສົມຜົນແມ່ນການຊອກຫາຫວ່າງໃຈຜົນຮ່ວມ (Intersection) ໂດຍແກ້ແຕ່ລະອະສົມຜົນແຍກກັນ ແລ້ວເອົາມາລວມກັນເທິງເສັ້ນຈຳນວນ:
ລະບົບ: { x² - 4 ≥ 0 并且 -x² + 5x - 4 > 0 }
- ອະສົມຜົນ (1): x² - 4 ≥ 0 ⇒ x ∈ ]-∞, -2] ∪ [2, +∞[
- ອະສົມຜົນ (2): x² - 5x + 4 < 0 ⇒ x ∈ ]1, 4[
- ໃຈຜົນຮ່ວມແມ່ນ: x ∈ [2, 4[
ພາກທີ II - ບົດທີ 23: ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກ (Systems of Quadratic Inequalities & Root Signs)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ລະບົບອະສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງກວດສອບເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກສົມຜົນຂັ້ນສອງ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 23: ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກ (Systems of Quadratic Inequalities & Root Signs)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການແກ້ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ, ການກວດສອບເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກສົມຜົນ (ຮາກບວກ, ຮາກລົບ, ຮາກຕ່າງເຄື່ອງໝາຍ) ໂດຍໃຊ້ Δ, S, P ແລະ ການປຽບທຽບຮາກກັບຈຳນວນ k
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 103-108
ເພື່ອປຽບທຽບຮາກ α, β ຂອງສົມຜົນ f(x) = ax² + bx + c = 0 ກັບຈຳນວນຈິງ k, ເຮົາໃຊ້ຫຼັກການ:
- ທັງສອງຮາກໃຫຍ່ກວ່າ k (α > k, β > k): ຕ້ອງມີ Δ ≥ 0, a·f(k) > 0, ແລະ x_jorn = -b/(2a) > k.
- ທັງສອງຮາກນ້ອຍກວ່າ k (α < k, β < k): ຕ້ອງມີ Δ ≥ 0, a·f(k) > 0, ແລະ x_jorn = -b/(2a) < k.
- ຈຳນວນ k ຢູ່ລະຫວ່າງສອງຮາກ (α < k < β): ຕ້ອງມີ a·f(k) < 0 (ເງື່ອນໄຂນີ້ພຽງພໍທີ່ຈະຮັບປະກັນ Δ > 0).
ພາກທີ II - ບົດທີ 23: ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກ (Systems of Quadratic Inequalities & Root Signs)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເງື່ອນໄຂພາຣາມີເຕີ m: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສົມຜົນ x² - 2(m-1)x + 2m - 5 = 0. ຊອກຫາເງື່ອນໄຂຂອງ m ເພື່ອໃຫ້ສົມຜົນ:
ຈົ່ງຊອກຫາເງື່ອນໄຂຂອງ a ເພື່ອໃຫ້ 1 ຢູ່ຫວ່າງກາງສອງຮາກ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສົມຜົນ x² - 2ax + a + 5 = 0. ຊອກຫາເງື່ອນໄຂຂອງ a ເພື່ອໃຫ້ 1 ຢູ່ຫວ່າງກາງສອງຮາກ (α < 1 < β)?
ພາກທີ II - ບົດທີ 23: ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກ (Systems of Quadratic Inequalities & Root Signs)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາເງື່ອນໄຂສອງຮາກບວກ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສົມຜົນ x² - 2(m+1)x + m + 3 = 0. ຊອກຫາເງື່ອນໄຂຂອງ m ເພື່ອໃຫ້ສົມຜົນມີສອງຮາກບວກຕ່າງກັນ?
ໂຈດເງື່ອນໄຂພາຣາມີເຕີລະບົບອະສົມຜົນ: (5 ຄະແນນ)
ຊອກຫາຄ່າ k ເພື່ອໃຫ້ລະບົບອະສົມຜົນ { x² - 5x + 4 ≤ 0 ແລະ x - k > 0 } ມີໃຈຜົນຮ່ວມ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 23 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກ (Systems of Quadratic Inequalities & Root Signs) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກສົມຜົນ: (5 ຄະແນນ)
ສົມຜົນ 2x² - 3x - 5 = 0 ມີສອງຮາກບວກ ຫຼື ລົບ ຫຼື ຕ່າງເຄື່ອງໝາຍ?
ເງື່ອນໄຂຮາກໃຫຍ່ກວ່າ k: (5 ຄະແນນ)
ເພື່ອໃຫ້ສົມຜົນ x² - 2x + (m-1) = 0 ມີສອງຮາກໃຫຍ່ກວ່າ 0 (ຮາກບວກ), ຕ້ອງມີ m ໃຫຍ່ກວ່າຈຳນວນໃດ?
ພາກທີ II - ບົດທີ 24: ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ (Systems of Quadratic Equations with Two Variables)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການແກ້ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ ໂດຍນຳໃຊ້ວິທີແທນ (Substitution), ວິທີປ່ຽນຕົວປ່ຽນຫຼັກ (S, P Symmetrical), ແລະ ການຊອກຫາຄູ່ໃຈຜົນ (x, y)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 109-111
ລະບົບສົມຜົນສົມມາດແມ່ນລະບົບທີ່ບໍ່ປ່ຽນແປງເມື່ອເຮົາສະຫຼັບບົດບາດລະຫວ່າງ x ແລະ y. ເຮົາວາງ S = x + y ແລະ P = xy:
1. ປ່ຽນລະບົບສົມຜົນເດີມໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບຮ່າງທີ່ມີ S ແລະ P.
2. ແກ້ລະບົບສົມຜົນຫາ S ແລະ P.
3. ຊອກຫາ x ແລະ y ໂດຍການແກ້ສົມຜົນຊ່ວຍ: t² - St + P = 0 (ຮາກແມ່ນ t_1, t_2).
4. ໃຈຜົນແມ່ນຄູ່ (x, y) = (t_1, t_2) ຫຼື (t_2, t_1).
ພາກທີ II - ບົດທີ 24: ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ (Systems of Quadratic Equations with Two Variables)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ລະບົບສົມຜົນສົມມາດຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແກ້ລະບົບສົມຜົນໂດຍວິທີແທນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ II - ບົດທີ 24: ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ (Systems of Quadratic Equations with Two Variables)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການແກ້ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ ໂດຍນຳໃຊ້ວິທີແທນ (Substitution), ວິທີປ່ຽນຕົວປ່ຽນຫຼັກ (S, P Symmetrical), ແລະ ການຊອກຫາຄູ່ໃຈຜົນ (x, y)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 109-111
ບາງລະບົບຕ້ອງໃຊ້ການຄູນ, ບວກ ຫຼື ລົບສົມຜົນເພື່ອຫຼຸດຂັ້ນ ຫຼື ປ່ຽນເປັນສົມຜົນສົມມາດ:
{ x² + y² = 13, xy = 6 }
ເຮົາຮູ້ວ່າ: (x+y)² = x² + y² + 2xy = 13 + 12 = 25 ⇒ S = ±5.
(x-y)² = x² + y² - 2xy = 13 - 12 = 1 ⇒ x-y = ±1.
ຈາກນີ້, ເຮົາສາມາດຊອກຫາ x ແລະ y ໄດ້ຢ່າງວ່ອງໄວ.
ພາກທີ II - ບົດທີ 24: ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ (Systems of Quadratic Equations with Two Variables)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຈາກລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສູງ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ລະບົບສົມຜົນ: { x² + y² = 25, xy = 12 } ທີ່ມີ x, y > 0:
ຈົ່ງແກ້ລະບົບສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ລະບົບສົມຜົນ { 1/x + 1/y = 5/6, xy = 6 }. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ x + y?
ພາກທີ II - ບົດທີ 24: ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ (Systems of Quadratic Equations with Two Variables)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາໃຈຜົນຈາກຜົນຄູນຮາກ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ລະບົບສົມຜົນ { x + y + xy = 11, x² + y² + xy = 19 } ທີ່ມີ x, y > 0. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ xy?
ໂຈດການນຳໃຊ້ເລຂາຄະນິດ (Geometry Application): (5 ຄະແນນ)
ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສີ່ແຈສາກແມ່ນ 24 ແມັດມົນທົນ ແລະ ເສັ້ນເນັ່ງຈອມຍາວ 10 ແມັດ. ຈົ່ງຊອກຫາລວງຍາວຂອງດ້ານທີ່ໃຫຍ່ກວ່າ (ລວງຍາວ)?
ພາກທີ II - ບົດທີ 24 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ (Systems of Quadratic Equations with Two Variables) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຈຳນວນຄູ່ໃຈຜົນຂອງລະບົບສົມຜົນ: (5 ຄະແນນ)
ລະບົບສົມຜົນ { x + y = 2, xy = 5 } (ມີ Δ = 4 - 20 = -16 < 0) ມີຈັກຄູ່ໃຈຜົນຕົວຈິງ?
ຄ່າຂອງ x - y ຈາກລະບົບສົມຜົນ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ລະບົບສົມຜົນ { x + y = 7, xy = 12 } ທີ່ມີ x > y. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ x - y?
ພາກທີ III - ບົດທີ 25: ໄຕມູມມິຕິໃນຮູບສາມແຈສາກ (Trigonometry in Right Triangles)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິ sin, cos, tan ໃນຮູບສາມແຈສາກ, ຄ່າຂອງມຸມພິເສດ (30°, 45°, 60°), ແລະ ເອກະລັກໄຕມູມມິຕິພື້ນຖານ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 111-115
ໃນຮູບສາມແຈສາກ ABC ທີ່ສາກຢູ່ C (ຂ້າງກົງສາກແມ່ນ c, ຂ້າງກົງໜ້າມຸມ A ແມ່ນ a, ຂ້າງຕິດແປະແມ່ນ b):
- ຊີນ (sin A): sin A = ຂ້າງກົງໜ້າ / ຂ້າງກົງສາກ = a/c
- ໂກຊີນ (cos A): cos A = ຂ້າງຕິດແປະ / ຂ້າງກົງສາກ = b/c
- ຕັງ (tan A): tan A = ຂ້າງກົງໜ້າ / ຂ້າງຕິດແປະ = a/b = sin A / cos A
ພາກທີ III - ບົດທີ 25: ໄຕມູມມິຕິໃນຮູບສາມແຈສາກ (Trigonometry in Right Triangles)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໃນຮູບສາມແຈສາກ ABC ສາກຢູ່ B ທີ່ມີຂ້າງ AB = 4 ແລະ BC = 3. ຈົ່ງຄິດໄລ່: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິຈາກເອກະລັກ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ III - ບົດທີ 25: ໄຕມູມມິຕິໃນຮູບສາມແຈສາກ (Trigonometry in Right Triangles)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິ sin, cos, tan ໃນຮູບສາມແຈສາກ, ຄ່າຂອງມຸມພິເສດ (30°, 45°, 60°), ແລະ ເອກະລັກໄຕມູມມິຕິພື້ນຖານ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 111-115
| ມຸມ A | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin A | 1/2 | √2 / 2 | √3 / 2 |
| cos A | √3 / 2 | √2 / 2 | 1/2 |
| tan A | √3 / 3 | 1 | √3 |
ພາກທີ III - ບົດທີ 25: ໄຕມູມມິຕິໃນຮູບສາມແຈສາກ (Trigonometry in Right Triangles)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງສຳນວນໄຕມູມມິຕິ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄວາມສູງຂອງຕົ້ນໄມ້: (5 ຄະແນນ)
ຢືນຫ່າງຈາກຕົ້ນໄມ້ 10 ແມັດ. ຫຼຽວເບິ່ງຍອດໄມ້ດ້ວຍມຸມເງີຍ 30°. ຈົ່ງຊອກຫາຄວາມສູງຂອງຕົ້ນໄມ້ (ບໍ່ນັບຄວາມສູງຂອງຕາ, tan 30° = √3 / 3 ≈ 0.577)?
ພາກທີ III - ບົດທີ 25: ໄຕມູມມິຕິໃນຮູບສາມແຈສາກ (Trigonometry in Right Triangles)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດເອກະລັກພິສູດ (Trigonometric Proof Problem): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ sin A + cos A = 1.2. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງຜົນຄູນ sin A × cos A?
ໂຈດການຊອກຫາ tan 15° (Trigonometry Challenge): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຮູບສາມແຈ ABC ມີ AB = AC = 2, ມຸມ A = 30° ແລະ ຫຼຸດລົງຈົນໄດ້ tan 15° = 2 - √3. ຈົ່ງຄິດໄລ່ tan 15° ເປັນຈຳນວນທົດສະນິຍົມ (√3 ≈ 1.732)?
ພາກທີ III - ບົດທີ 25 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ໄຕມູມມິຕິໃນຮູບສາມແຈສາກ (Trigonometry in Right Triangles) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄ່າຂອງ cos 30°: (5 ຄະແນນ)
ຄ່າຂອງ cos 30° ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ເອກະລັກ sin² A + cos² A: (5 ຄະແນນ)
ສໍາລັບທຸກໆມຸມແຫຼມ A, ຄ່າຂອງ sin² A + cos² A ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ III - ບົດທີ 26: ໂກຊີນ, ຊີນ ແລະ ຕັງຂອງມຸມລະຫວ່າງ 0° ຫາ 180° (Trigonometry from 0° to 180°)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຂະຫຍາຍອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິໃສ່ວົງມົນຫົວໜ່ວຍ (Unit Circle), ສຶກສາເຄື່ອງໝາຍຂອງ sin, cos, tan ໃນພາກສ່ວນຕ່າງໆ (Quadrants), ແລະ ນຳໃຊ້ສູດມຸມເພີ່ມ/ມຸມປະກອບ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 116-121
ສໍາລັບມຸມ θ ໃດໆ ລະຫວ່າງ 0° ຫາ 180°, ຈຸດ P(a, b) ເທິງວົງມົນຫົວໜ່ວຍ (ລັດສະໝີ R = 1) ຈະກຳນົດຄ່າດັ່ງນີ້:
- ແກນນອນ Ox (ຄ່າຂອງ a): cos θ = a (ມີຄ່າແຕ່ -1 ຫາ 1).
- ແກນຕັ້ງ Oy (ຄ່າຂອງ b): sin θ = b (ມີຄ່າແຕ່ 0 ຫາ 1).
- ເສັ້ນສໍາຜັດ (tan θ): tan θ = b/a = sin θ / cos θ (ສໍາລັບ θ ≠ 90°).
- ພາກສ່ວນທີ I (0° ≤ θ ≤ 90°): sin θ ≥ 0, cos θ ≥ 0, tan θ ≥ 0.
- ພາກສ່ວນທີ II (90° ≤ θ ≤ 180°): sin θ ≥ 0, cos θ ≤ 0, tan θ ≤ 0 (cos ແລະ tan ຈະຕິດລົບ).
ພາກທີ III - ບົດທີ 26: ໂກຊີນ, ຊີນ ແລະ ຕັງຂອງມຸມລະຫວ່າງ 0° ຫາ 180° (Trigonometry from 0° to 180°)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງບອກເຄື່ອງໝາຍ (+ ຫຼື -) ຂອງອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິດຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຈາກວົງມົນຫົວໜ່ວຍໂດຍກົງ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ III - ບົດທີ 26: ໂກຊີນ, ຊີນ ແລະ ຕັງຂອງມຸມລະຫວ່າງ 0° ຫາ 180° (Trigonometry from 0° to 180°)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຂະຫຍາຍອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິໃສ່ວົງມົນຫົວໜ່ວຍ (Unit Circle), ສຶກສາເຄື່ອງໝາຍຂອງ sin, cos, tan ໃນພາກສ່ວນຕ່າງໆ (Quadrants), ແລະ ນຳໃຊ້ສູດມຸມເພີ່ມ/ມຸມປະກອບ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 116-121
ການພົວພັນລະຫວ່າງມຸມປະກອບເພີ່ມ (180° - θ) ແລະ ມຸມປະກອບ (90° ± θ):
- sin(180° - θ) = sin θ
- cos(180° - θ) = -cos θ
- tan(180° - θ) = -tan θ
- sin(90° + θ) = cos θ
- cos(90° + θ) = -sin θ
- tan(90° + θ) = -1 / tan θ
ພາກທີ III - ບົດທີ 26: ໂກຊີນ, ຊີນ ແລະ ຕັງຂອງມຸມລະຫວ່າງ 0° ຫາ 180° (Trigonometry from 0° to 180°)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງມຸມຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງສຳນວນໄຕມູມມິຕິ: (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງສຳນວນ: A = cos 135° × sin 120° × tan 150° / cos 60°?
ພາກທີ III - ບົດທີ 26: ໂກຊີນ, ຊີນ ແລະ ຕັງຂອງມຸມລະຫວ່າງ 0° ຫາ 180° (Trigonometry from 0° to 180°)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການພິສູດຜົນບວກສຳນວນ (Trigonometric Expression Simplification): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຂອງສຳນວນ: B = sin 80° + cos 110° + sin 160° + cos 170°?
ໂຈດການຊອກຫາມຸມຈາກຄ່າ cos (Finding Angle from Value): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ cos θ = -1/2 ສໍາລັບ 0° ≤ θ ≤ 180°. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງມຸມ θ?
ພາກທີ III - ບົດທີ 26 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ໂກຊີນ, ຊີນ ແລະ ຕັງຂອງມຸມລະຫວ່າງ 0° ຫາ 180° (Trigonometry from 0° to 180°) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄ່າຂອງ sin 150°: (5 ຄະແນນ)
ຄ່າຂອງ sin 150° ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ຄ່າຂອງ cos 135°: (5 ຄະແນນ)
ຄ່າຂອງ cos 135° ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ III - ບົດທີ 27: ຫຼັກເກນຊີນ (The Law of Sines)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຫຼັກເກນຊີນໃນຮູບສາມແຈໃດໆ a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, ການຊອກຫາຂ້າງ, ມຸມ ແລະ ລັດສະໝີວົງມົນອ້ອມນອກ R
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 125-129
ໃນຮູບສາມແຈ ABC ໃດໆ ທີ່ມີຂ້າງກົງກັນຂ້າມມຸມ A, B, C ແມ່ນ a, b, c ແລະ R ແມ່ນລັດສະໝີວົງມົນອ້ອມນອກ:
- ຫຼັກເກນຊີນຊ່ວຍໃຫ້ເຮົາຊອກຫາຂ້າງ ຫຼື ມຸມ ຂອງຮູບສາມແຈເມື່ອຮູ້:
1. ໜຶ່ງຂ້າງ ແລະ ສອງມຸມ.
2. ສອງຂ້າງ ແລະ ໜຶ່ງມຸມກົງກັນຂ້າມກັບຂ້າງໃດໜຶ່ງ.
ພາກທີ III - ບົດທີ 27: ຫຼັກເກນຊີນ (The Law of Sines)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ b = 3√2, ມຸມ B = 30° ແລະ c = 6. ຈົ່ງຊອກຫາມຸມ C: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ b = 2, ມຸມ A = 60° ແລະ ມຸມ B = 45°. ຈົ່ງຊອກຫາ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ III - ບົດທີ 27: ຫຼັກເກນຊີນ (The Law of Sines)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຫຼັກເກນຊີນໃນຮູບສາມແຈໃດໆ a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, ການຊອກຫາຂ້າງ, ມຸມ ແລະ ລັດສະໝີວົງມົນອ້ອມນອກ R
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 125-129
ຫຼັກເກນຊີນສາມາດນຳໃຊ້ວັດແທກໄລຍະທາງທີ່ບໍ່ສາມາດເຂົ້າເຖິງໄດ້ໂດຍກົງ (ເຊັ່ນ ໄລຍະຫ່າງຂ້າມແມ່ນ້ຳ):
1. ສ້າງຮູບສາມແຈສົມມຸດລະຫວ່າງຈຸດທີ່ກຳນົດ.
2. ຄິດໄລ່ມຸມທີສາມຈາກ A + B + C = 180°.
3. ນຳໃຊ້ສູດ: a / sin A = b / sin B ເພື່ອຊອກຫາຂ້າງທີ່ຕ້ອງການ.
ພາກທີ III - ບົດທີ 27: ຫຼັກເກນຊີນ (The Law of Sines)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ໂຈດວັດແທກໄລຍະຫ່າງ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ເພື່ອວັດແທກໄລຍະທາງຂ້າມແມ່ນ້ຳຈາກ A ຫາ P, ເຮົາແທ້ມຖານ AB = 100 ແມັດ, ມຸມ BAP = 75°, ມຸມ ABP = 45° (ມຸມ P = 60°):
ຈົ່ງຊອກຫາຂ້າງຂອງຮາມສາມແຈທີ່ມີອັດຕາສ່ວນມຸມ: (5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC ທີ່ມີມຸມ A, B, C ເປັນອັດຕາສ່ວນ 1:2:9, ລັດສະໝີວົງມົນອ້ອມນອກ R = 1. ຈົ່ງຊອກຫາຂ້າງ AB (ຂ້າງ c)?
ພາກທີ III - ບົດທີ 27: ຫຼັກເກນຊີນ (The Law of Sines)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິ (Ratios in Law of Sines): (5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ອັດຕາສ່ວນຂ້າງ a:b:c = 4:5:6. ຈົ່ງຊອກຫາອັດຕາສ່ວນ sin A : sin B : sin C?
ໂຈດຊອກຫາລັດສະໝີວົງມົນອ້ອມນອກ (Circumradius Problem): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຮູບສາມແຈ ABC ມີຂ້າງ a = 5 ແລະ ມຸມ A = 150°. ຈົ່ງຊອກຫາລັດສະໝີວົງມົນອ້ອມນອກ R?
ພາກທີ III - ບົດທີ 27 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຫຼັກເກນຊີນ (The Law of Sines) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄ່າຂອງ a/sin A: (5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC ທີ່ມີລັດສະໝີວົງມົນອ້ອມນອກ R = 4. ຄ່າຂອງອັດຕາສ່ວນ a / sin A ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ຄຳນວນຂ້າງກົງກັນຂ້າມມຸມ 45°: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຮູບສາມແຈ ABC ມີ R = 3. ຈົ່ງຊອກຫາຂ້າງ a ຖ້າມຸມ A = 45°?
ພາກທີ III - ບົດທີ 28: ຫຼັກເກນໂກຊີນ (The Law of Cosines)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຫຼັກເກນໂກຊີນໃນຮູບສາມແຈໃດໆ a² = b² + c² - 2bc cos A, ການຄິດໄລ່ຂ້າງ ແລະ ມຸມ, ແລະ ການປະສົມປະສານຫຼັກເກນຊີນ-ໂກຊີນໃນການແກ້ໂຈດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 130-134
ໃນຮູບສາມແຈ ABC ໃດໆ ທີ່ມີຂ້າງກົງກັນຂ້າມມຸມ A, B, C ແມ່ນ a, b, c ຕາມລໍາດັບ:
- ຊອກຫາຂ້າງ a: a² = b² + c² - 2bc cos A
- ຊອກຫາຂ້າງ b: b² = a² + c² - 2ac cos B
- ຊອກຫາຂ້າງ c: c² = a² + b² - 2ab cos C
ຫຼັກເກນໂກຊີນແມ່ນຮູບແບບທົ່ວໄປຂອງຫຼັກເກນປີຕາກໍ (ເມື່ອ A = 90°, cos 90° = 0 ຈະກາຍເປັນ a² = b² + c²).
ພາກທີ III - ບົດທີ 28: ຫຼັກເກນໂກຊີນ (The Law of Cosines)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ b = 2, a = √3 - 1, ແລະ ມຸມ C = 120°. ຈົ່ງຊອກຫາຂ້າງ c (AB): (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ a = 1, b = 2, ແລະ c = √3. ຈົ່ງຄິດໄລ່: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ III - ບົດທີ 28: ຫຼັກເກນໂກຊີນ (The Law of Cosines)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຫຼັກເກນໂກຊີນໃນຮູບສາມແຈໃດໆ a² = b² + c² - 2bc cos A, ການຄິດໄລ່ຂ້າງ ແລະ ມຸມ, ແລະ ການປະສົມປະສານຫຼັກເກນຊີນ-ໂກຊີນໃນການແກ້ໂຈດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 130-134
ເມື່ອຮູ້ສາມດ້ານ a, b, c, ເຮົາສາມາດຊອກຫາມຸມໃດໜຶ່ງໄດ້ສະເໝີ ໂດຍນຳໃຊ້ສູດຍ້າຍຂ້າງ:
- cos A = (b² + c² - a²) / 2bc
- cos B = (a² + c² - b²) / 2ac
- cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
ພາກທີ III - ບົດທີ 28: ຫຼັກເກນໂກຊີນ (The Law of Cosines)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ b = √6 - √2, c = 2√3, ແລະ ມຸມ A = 45°. ຈົ່ງຊອກຫາ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງສອງຈຸດສັງເກດ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຈຸດ A ຫ່າງຈາກຈຸດ P ແມ່ນ AP = 50√6 ແມັດ, ແລະ ຈຸດ A ຫ່າງຈາກ Q ແມ່ນ AQ = 100√2 ແມັດ. ມຸມ PAQ = 30°. ຈົ່ງຊອກຫາໄລຍະຫ່າງ PQ?
ພາກທີ III - ບົດທີ 28: ຫຼັກເກນໂກຊີນ (The Law of Cosines)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາຂ້າງຂອງສາມແຈ (Trigonometry Parameter Calculation): (5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ a = 3, ມຸມ B = 45°, ມຸມ C = 15°. ຈົ່ງຊອກຫາຂ້າງ b (AC)?
ໂຈດການຊອກຫາມຸມໃຫຍ່ສຸດ (Finding the Largest Angle): (5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ຂ້າງ a = 3, b = 5, c = 7. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງມຸມທີ່ໃຫຍ່ທີ່ສຸດ (ມຸມ C ກົງກັນຂ້າມດ້ານຍາວສຸດ)?
ພາກທີ III - ບົດທີ 28 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຫຼັກເກນໂກຊີນ (The Law of Cosines) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ສູດຫຼັກເກນໂກຊີນສໍາລັບມຸມ C = 90°: (5 ຄະແນນ)
ຖ້າ C = 90°, ຫຼັກເກນ c² = a² + b² - 2ab cos C ຈະກາຍເປັນສູດໃດ?
ຄຳນວນດ້ານ c ຈາກມຸມ 60°: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຮູບສາມແຈ ABC ມີ a = 3, b = 8, ມຸມ C = 60°. ຈົ່ງຊອກຫາຂ້າງ c?
ພາກທີ III - ບົດທີ 29: ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ (Area of a Triangle)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຊອກຫາເນື້ອທີ່ຮູບສາມແຈໂດຍນຳໃຊ້ອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິ S = (1/2)ab sin C, ການນຳໃຊ້ສູດເຮຣົງ (Heron's Formula) ແລະ ໂຈດປະສົມປະສານ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 135-139
ໃນຮູບສາມແຈ ABC ໃດໆ ທີ່ມີຂ້າງ a, b, c, ເນື້ອທີ່ S ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ຈາກສອງຂ້າງ ແລະ ມຸມລະຫວ່າງສອງຂ້າງນັ້ນ:
- ຜ່ານມຸມ A: S = (1/2) b c sin A
- ຜ່ານມຸມ B: S = (1/2) a c sin B
- ຜ່ານມຸມ C: S = (1/2) a b sin C
ພາກທີ III - ບົດທີ 29: ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ (Area of a Triangle)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ b = 4, c = 5, ແລະ ມຸມ A = 30°. ຈົ່ງຊອກຫາເນື້ອທີ່ S: (5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ a = 2√2, ມຸມ A = 10°, ມຸມ C = 20°. ເນື້ອທີ່ S = 3. ຈົ່ງຊອກຫາຂ້າງ c (AB): (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ III - ບົດທີ 29: ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ (Area of a Triangle)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຊອກຫາເນື້ອທີ່ຮູບສາມແຈໂດຍນຳໃຊ້ອັດຕາສ່ວນໄຕມູມມິຕິ S = (1/2)ab sin C, ການນຳໃຊ້ສູດເຮຣົງ (Heron's Formula) ແລະ ໂຈດປະສົມປະສານ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 135-139
ເມື່ອຮູ້ສາມດ້ານ a, b, c ຂອງຮູບສາມແຈ, ເຮົາໃຊ້ສູດເຮຣົງ:
S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]
ເຊິ່ງໃນນີ້: p = (a + b + c) / 2 ແມ່ນເຄິ່ງຮອບຮູບ.
ພາກທີ III - ບົດທີ 29: ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ (Area of a Triangle)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເນື້ອທີ່ໂດຍໃຊ້ສູດເຮຣົງ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC ທີ່ມີສາມຂ້າງແມ່ນ a = 5, b = 5, c = 6:
ຈົ່ງຊອກຫາເນື້ອທີ່ຮູບສີ່ແຈຄາງໝູ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຮູບສີ່ແຈຄາງໝູ ABCD ມີ AD ຂະໜານກັບ BC, ຂ້າງ AB = 5, ຖານລຸ່ມ BC = 6, ຖານເທິງ AD = 2 ແລະ ມຸມ ABC = 60°. ຈົ່ງຊອກຫາເນື້ອທີ່ຂອງຮູບຄາງໝູ?
ພາກທີ III - ບົດທີ 29: ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ (Area of a Triangle)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດເນື້ອທີ່ຮູບ 12 ແຈສະເໝີ (Area of Regular Dodecagon): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາເນື້ອທີ່ຂອງຮູບ 12 ແຈສະເໝີ ທີ່ບັນຈຸໃນວົງມົນທີ່ມີລັດສະໝີ R = 1?
ໂຈດຊອກຫາລັດສະໝີວົງມົນແນບໃນ (Inradius of Triangle): (5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC ມີຂ້າງ a = 5, b = 5, c = 6, ດັ່ງນັ້ນມີເນື້ອທີ່ S = 12. ຈົ່ງຊອກຫາລັດສະໝີວົງມົນແນບໃນ r (ສູດ: S = p·r)?
ພາກທີ III - ບົດທີ 29 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ (Area of a Triangle) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ສູດເນື້ອທີ່ຮ່ວມມຸມ B: (5 ຄະແນນ)
ສູດຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ຮູບສາມແຈ ABC ຜ່ານມຸມ B ແມ່ນຫຍັງ?
ເນື້ອທີ່ຮູບສາມແຈສາກ: (5 ຄະແນນ)
ຮູບສາມແຈ ABC ສາກຢູ່ C ທີ່ມີຂ້າງ AC = 6 ແລະ BC = 8. ເນື້ອທີ່ S ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 30: ຄວາມຮູ້ທົ່ວໄປກ່ຽວກັບເວກເຕີ (Introduction to Vectors)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບປະລິມານສະກາແລ ແລະ ປະລິມານເວກເຕີ, ທິດທາງ ແລະ ຂະໜາດຂອງເວກເຕີ, ເວກເຕີທີ່ຂະໜານກັນ, ເວກເຕີທີ່ເທົ່າກັນ ແລະ ເວກເຕີກົງກັນຂ້າມ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 139-144
ໃນຟີຊິກສາດ ແລະ ຄະນິດສາດ, ປະລິມານແບ່ງອອກເປັນສອງປະເພດໃຫຍ່:
ແມ່ນປະລິມານທີ່ມີແຕ່ຂະໜາດພຽງຢ່າງດຽວ (ບໍ່ມີທິດທາງ).
- ຕົວຢ່າງ: ມວນສານ, ອຸນຫະພູມ, ເວລາ, ຄວາມໄວສະເລ່ຍ (ເຊັ່ນ: ລົດແລ່ນ 60 km/h).
ແມ່ນປະລິມານທີ່ມີທັງຂະໜາດ, ທິດ ແລະ ລວງ (ມີທິດທາງຊີ້ບອກແນ່ນອນ).
- ຕົວຢ່າງ: ຄວາມໄວເວກເຕີ (ເຊັ່ນ: ລົດແລ່ນໄປທາງທິດໃຕ້ດ້ວຍຄວາມໄວ 60 km/h), ຄວາມແຮງ, ຄວາມເລັ່ງ.
ພາກທີ IV - ບົດທີ 30: ຄວາມຮູ້ທົ່ວໄປກ່ຽວກັບເວກເຕີ (Introduction to Vectors)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຈຳແນກປະລິມານຕໍ່ໄປນີ້ວ່າເປັນ ສະກາແລ ຫຼື ເວກເຕີ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 30: ຄວາມຮູ້ທົ່ວໄປກ່ຽວກັບເວກເຕີ (Introduction to Vectors)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບປະລິມານສະກາແລ ແລະ ປະລິມານເວກເຕີ, ທິດທາງ ແລະ ຂະໜາດຂອງເວກເຕີ, ເວກເຕີທີ່ຂະໜານກັນ, ເວກເຕີທີ່ເທົ່າກັນ ແລະ ເວກເຕີກົງກັນຂ້າມ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 139-144
ການສົມທຽບເວກເຕີສອງຕົວ u ແລະ v ໃດໆ:
- ເວກເຕີຂະໜານກັນ (Parallel, u ∥ v): ມີທິດທາງດຽວກັນ ຫຼື ກົງກັນຂ້າມກັນ (ຢູ່ວາງເທິງເສັ້ນຊື່ດຽວກັນ ຫຼື ຂະໜານກັນ).
- ເວກເຕີເທົ່າກັນ (Equal, u = v): ມີທັງຂະໜາດເທົ່າກັນ ແລະ ທິດທາງດຽວກັນ.
- `ເວກເຕີກົງກັນຂ້າມ` (Opposite, u = -v): ມີຂະໜາດເທົ່າກັນ ແຕ່ມີທິດທາງກົງກັນຂ້າມ.
ພາກທີ IV - ບົດທີ 30: ຄວາມຮູ້ທົ່ວໄປກ່ຽວກັບເວກເຕີ (Introduction to Vectors)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ໃນຮູບຫົກແຈສະເໝີ ABCDEF, ຈົ່ງກຳນົດຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງເວກເຕີ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບກ່ອງສາກ ABCD-EFGH, ຈົ່ງຊອກຫາເວກເຕີທີ່ເທົ່າກັນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 30: ຄວາມຮູ້ທົ່ວໄປກ່ຽວກັບເວກເຕີ (Introduction to Vectors)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດບັນຫາໄລຍະທາງ ແລະ ທິດທາງ (Vector Displacement): (5 ຄະແນນ)
ນົກໂຕໜຶ່ງເລີ່ມບິນໄປທາງທິດເວັນຕົກສຽງເໜືອເປັນໄລຍະທາງ 2 ກິໂລແມັດ, ຈາກນັ້ນບິນໄປທາງທິດເວັນອອກສຽງເໜືອເປັນໄລຍະທາງ 2 ກິໂລແມັດ. ຈົ່ງຊອກຫາໄລຍະຫ່າງທັງໝົດລະຫວ່າງນົກກັບຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 30 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຄວາມຮູ້ທົ່ວໄປກ່ຽວກັບເວກເຕີ (Introduction to Vectors) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄຸນລັກສະນະເວກເຕີກົງກັນຂ້າມ: (5 ຄະແນນ)
ຜົນບວກຂອງສອງເວກເຕີກົງກັນຂ້າມ AB + BA ແມ່ນເວກເຕີໃດ?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 31: ການບວກ ແລະ ການລົບເວກເຕີ (Addition & Subtraction of Vectors)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກົດເກນການບວກເວກເຕີດ້ວຍກົດເກນສາມແຈ (Chasles' Relation), ກົດເກນຮູບສີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ, ແລະ ການລົບເວກເຕີດ້ວຍວິທີເລຂາຄະນິດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 147-149
ການບວກເວກເຕີສອງຕົວ u ແລະ v ສາມາດເຮັດໄດ້ 2 ວິທີຫຼັກ:
ວາງເມັດເລີ່ມຕົ້ນຂອງ v ຕໍ່ໃສ່ເມັດປາຍຂອງ u (ຜ່ານເມັດ B):
AB + BC = AC
ສໍາລັບສອງເວກເຕີທີ່ມີເມັດເລີ່ມຕົ້ນດຽວກັນ (A):
AB + AD = AC (ເມື່ອ C ແມ່ນເມັດຈອມກົງກັນຂ້າມຂອງຮູບສີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ ABCD).
ພາກທີ IV - ບົດທີ 31: ການບວກ ແລະ ການລົບເວກເຕີ (Addition & Subtraction of Vectors)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງເຮັດໃຫ້ສຳນວນເວກເຕີຕໍ່ໄປນີ້ງ່າຍດາຍ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຮູບສີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ ABCD. ຈົ່ງຕື່ມສຳນວນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 31: ການບວກ ແລະ ການລົບເວກເຕີ (Addition & Subtraction of Vectors)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກົດເກນການບວກເວກເຕີດ້ວຍກົດເກນສາມແຈ (Chasles' Relation), ກົດເກນຮູບສີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ, ແລະ ການລົບເວກເຕີດ້ວຍວິທີເລຂາຄະນິດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 147-149
ການລົບເວກເຕີ u - v ແມ່ນການບວກເວກເຕີ u ດ້ວຍເວກເຕີກົງກັນຂ້າມ -v:
AB - AC = CB (ເພາະ AB - AC = AB + CA = CA + AB = CB).
- ຖ້າ ABCD ແມ່ນຮູບສີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ: AB - AD = DB.
ພາກທີ IV - ບົດທີ 31: ການບວກ ແລະ ການລົບເວກເຕີ (Addition & Subtraction of Vectors)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງແກ້ໄຂສຳນວນການລົບເວກເຕີ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຮູບສີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ ABCD ທີ່ມີເມັດຕັດຂອງເສັ້ນເນັ່ງຈອມແມ່ນ O. ຈົ່ງຄິດໄລ່: (5 ຄະແນນ)
ຄິດໄລ່ສຳນວນເວກເຕີ: S = OA + OB - OC - OD?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 31: ການບວກ ແລະ ການລົບເວກເຕີ (Addition & Subtraction of Vectors)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການລວມເວກເຕີໃນຮູບສາມແຈ (Vector Combination in Triangle): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຮູບສາມແຈ ABC, ໃຫ້ M ແມ່ນເມັດເຄິ່ງກາງຂອງ BC (ດັ່ງນັ້ນ MB + MC = 0). ຈົ່ງຊອກຫາເວກເຕີທີ່ເທົ່າກັນກັບ AB + AC?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 31 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການບວກ ແລະ ການລົບເວກເຕີ (Addition & Subtraction of Vectors) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຜົນບວກຮອບວົງຂອງສາມແຈ: (5 ຄະແນນ)
ໃນຮູບສາມແຈ ABC, ຜົນບວກຂອງເວກເຕີ AB + BC + CA ແມ່ນເວກເຕີໃດ?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 32: ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ (Vector Multiplication by a Scalar)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ a·u, ທິດທາງ ແລະ ຂະໜາດຂອງເວກເຕີຜົນຄູນ, ຄຸນລັກສະນະພຶດຊະຄະນິດ, ແລະ ການພິສູດຈຸດຮ່ວມເສັ້ນຊື່ (Collinearity)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 150-153
ຜົນຄູນຂອງເວກເຕີ u ດ້ວຍສະກາແລ a (ຈຳນວນຈິງ) ແມ່ນເວກເຕີ a·u ທີ່ມີເງື່ອນໄຂດັ່ງນີ້:
- ຂະໜາດ (Magnitude): |a·u| = |a| × |u|
- ທິດທາງ (Direction):
- ຖ້າ a > 0: a·u ມີທິດທາງດຽວກັນກັບ u.
- ຖ້າ a < 0: a·u ມີທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບ u.
- ຖ້າ a = 0 ຫຼື u = 0: a·u = 0 (ເວກເຕີສູນ).
- a(b·u) = (ab)·u
- (a + b)·u = a·u + b·u
- a(u + v) = a·u + a·v
ພາກທີ IV - ບົດທີ 32: ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ (Vector Multiplication by a Scalar)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຂະໜາດ ແລະ ທິດທາງຂອງເວກເຕີຜົນຄູນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງເຮັດໃຫ້ສຳນວນເວກເຕີຕໍ່ໄປນີ້ງ່າຍດາຍ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 32: ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ (Vector Multiplication by a Scalar)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ a·u, ທິດທາງ ແລະ ຂະໜາດຂອງເວກເຕີຜົນຄູນ, ຄຸນລັກສະນະພຶດຊະຄະນິດ, ແລະ ການພິສູດຈຸດຮ່ວມເສັ້ນຊື່ (Collinearity)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 150-153
- ຖ້າ I ແມ່ນເມັດເຄິ່ງກາງຂອງທ່ອນຊື່ AB, ດັ່ງນັ້ນສໍາລັບທຸກໆເມັດ O ໃດໆ:
ຫຼື ຖ້າ O ຢູ່ຈຸດ I ຈະໄດ້: IA + IB = 0.
- ສາມເມັດ A, B, C ນອນເທິງເສັ້ນຊື່ດຽວກັນ (Collinear) ກໍຕໍ່ເມື່ອ ເວກເຕີ AB ແລະ AC ຂະໜານກັນ: AC = k·AB.
ພາກທີ IV - ບົດທີ 32: ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ (Vector Multiplication by a Scalar)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄົງຄ່າອັດຕາສ່ວນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ G ແມ່ນເມັດຖ່ວງໜັກຂອງຮູບສາມແຈ ABC ແລະ M ແມ່ນເມັດເຄິ່ງກາງຂອງ BC:
ຈົ່ງຊອກຫາຕົວຄູນ k ເພື່ອໃຫ້ສາມເມັດຊື່ດຽວກັນ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສາມເມັດ A, B, C ນອນເທິງເສັ້ນຊື່ດຽວກັນ ໂດຍມີຄວາມສຳພັນ AB = 3u - 2v ແລະ AC = 9u - kv. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ k?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 32: ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ (Vector Multiplication by a Scalar)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດພິສູດເມັດຖ່ວງໜັກ (Centroid Vector Identity): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ G ແມ່ນເມັດຖ່ວງໜັກຂອງຮູບສາມແຈ ABC. ດັ່ງນັ້ນ GA + GB + GC = 0. ສໍາລັບຈຸດ O ໃດໆ, ຕົວຄູນ m ທີ່ສອດຄ່ອງກັບ OA + OB + OC = m·OG ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 32 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ (Vector Multiplication by a Scalar) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄ່າຂອງ 0·u: (5 ຄະແນນ)
ສໍາລັບທຸກໆເວກເຕີ u ໃດໆ, ຜົນຄູນ 0·u ຈະໄດ້ເວກເຕີໃໝ່ແມ່ນຫຍັງ?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 33: ເວກເຕີໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າຕັ້ງສາກ (Vectors in the Orthogonal Coordinate System)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ຕົວປະສານຂອງເວກເຕີ AB = [x2 - x1, y2 - y1], ການຄິດໄລ່ຂະໜາດເວກເຕີ |u| = √(a² + b²), ແລະ ການພົວພັນດ້ວຍເວກເຕີພື້ນຖານ i ແລະ j
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 162-166
ໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າຕັ້ງສາກ Oxy, ສໍາລັບສອງເມັດ A(x₁, y₁) ແລະ B(x₂, y₂):
AB = [x₂ - x₁, y₂ - y₁] ຫຼຶ ຂຽນເປັນຖັນ [x₂ - x₁ \ y₂ - y₁].
|u| = √(a² + b²)
ເຊິ່ງແມ່ນໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດເລີ່ມຕົ້ນຫາເມັດປາຍ.
ພາກທີ IV - ບົດທີ 33: ເວກເຕີໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າຕັ້ງສາກ (Vectors in the Orthogonal Coordinate System)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຕົວປະສານ ແລະ ຂະໜາດຂອງເວກເຕີ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 33: ເວກເຕີໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າຕັ້ງສາກ (Vectors in the Orthogonal Coordinate System)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ຕົວປະສານຂອງເວກເຕີ AB = [x2 - x1, y2 - y1], ການຄິດໄລ່ຂະໜາດເວກເຕີ |u| = √(a² + b²), ແລະ ການພົວພັນດ້ວຍເວກເຕີພື້ນຖານ i ແລະ j
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 162-166
ສໍາລັບສອງເວກເຕີ u = [a, b] ແລະ v = [c, d] ແລະ ສະກາແລ k ໃດໆ:
- ການບວກ (u + v): u + v = [a + c, b + d]
- CN / ການລົບ (u - v): u - v = [a - c, b - d]
- ການຄູນ (k·u): k·u = [ka, kb]
- ເວກເຕີພື້ນຖານ (i, j): i = [1, 0] ແລະ j = [0, 1]. ດັ່ງນັ້ນ u = a·i + b·j.
ພາກທີ IV - ບົດທີ 33: ເວກເຕີໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າຕັ້ງສາກ (Vectors in the Orthogonal Coordinate System)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ເວກເຕີຜົນບວກ, ຜົນລົບ ແລະ ຜົນຄູນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແປງເວກເຕີໃນຮູບຮ່າງ i ແລະ j: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 33: ເວກເຕີໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າຕັ້ງສາກ (Vectors in the Orthogonal Coordinate System)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາເມັດທີສີ່ຂອງຮູບສີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ (Centroid Coordinate Problem): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສາມເມັດ A(1, 2), B(4, 5), C(6, 2). ຊອກຫາເມັດ D(x, y) ເພື່ອໃຫ້ ABCD ເປັນຮູບສີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ (ເງື່ອນໄຂ AB = DC)?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 33 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເວກເຕີໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າຕັ້ງສາກ (Vectors in the Orthogonal Coordinate System) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຂະໜາດຂອງເວກເຕີພື້ນຖານ: (5 ຄະແນນ)
ຂະໜາດຂອງເວກເຕີພື້ນຖານ i (ເຊິ່ງແມ່ນ |i|) ມີຄ່າເທົ່າໃດ?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 34: ເວກເຕີຮ່ວມແຜ່ນພຽງ (Coplanar Vectors)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບເວກເຕີຮ່ວມແຜ່ນພຽງ, ເງື່ອນໄຂໃຫ້ສາມເວກເຕີຮ່ວມແຜ່ນພຽງ w = x·u + y·v, ແລະ ການວິເຄາະຄວາມເປັນເອກະລາດເຊິ່ງກັນແລະກັນໃນອາວະກາດ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 167-171
ໃນອາວະກາດ, ສາມເວກເຕີ u, v ແລະ w ຖືກເອີ້ນວ່າ ຮ່ວມແຜ່ນພຽງກັນ (Coplanar) ຖ້າທິດທາງຂອງພວກມັນຂະໜານກັບແຜ່ນພຽງດຽວກັນ.
ຖ້າສອງເວກເຕີ u ແລະ v ບໍ່ຂະໜານກັນ, ສາມເວກເຕີ u, v, w ຈະຮ່ວມແຜ່ນພຽງກັນ ກໍຕໍ່ເມື່ອມີສອງຈຳນວນຈິງ x ແລະ y ທີ່ເຮັດໃຫ້:
w = x·u + y·v
- ທຸກໆສອງເວກເຕີ u ແລະ v ໃດໆ ຈະຮ່ວມແຜ່ນພຽງກັນສະເໝີ.
- ຖ້າສາມເວກເຕີ u, v, w ບໍ່ຮ່ວມແຜ່ນພຽງກັນ, ພວກມັນຈະເປັນເອກະລາດເຊິ່ງກັນແລະກັນໃນອາວະກາດ.
ພາກທີ IV - ບົດທີ 34: ເວກເຕີຮ່ວມແຜ່ນພຽງ (Coplanar Vectors)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງ x ແລະ y ຈາກການພົວພັນເວກເຕີ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຕື່ມຂໍ້ມູນກ່ຽວກັບຄວາມຮ່ວມແຜ່ນພຽງຂອງເວກເຕີ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 34: ເວກເຕີຮ່ວມແຜ່ນພຽງ (Coplanar Vectors)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການຮ່ວມແຜ່ນພຽງຂອງສີ່ເມັດ (Coplanar Points in Space): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສີ່ເມັດ A(1, 1, 1), B(2, 3, 1), C(1, 2, 2) ແລະ D(2, 4, k). ຊອກຫາຄ່າ k ເພື່ອໃຫ້ສີ່ເມັດ A, B, C, D ຕັ້ງຢູ່ເທິງແຜ່ນພຽງດຽວກັນ (ຮ່ວມແຜ່ນພຽງກັນ)?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 34 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເວກເຕີຮ່ວມແຜ່ນພຽງ (Coplanar Vectors) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄວາມຮ່ວມແຜ່ນພຽງຂອງສອງເວກເຕີ: (5 ຄະແນນ)
ໃນອາວະກາດ, ສອງເວກເຕີໃດໆ ຈະຮ່ວມແຜ່ນພຽງກັນສະເໝີ ແມ່ນ ຫຼື ບໍ່?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 35: ຜົນຄູນສະກາແລຂອງສອງເວກເຕີ (Scalar Product of Two Vectors)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຜົນຄູນສະກາແລ u·v = |u|·|v|·cos(θ) ແລະ ສູດໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າ Oxy, ຄິດໄລ່ມູນລະຫວ່າງສອງເວກເຕີ, ແລະ ນຳໃຊ້ເງື່ອນໄຂຕັ້ງສາກ u·v = 0
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 172-177
ຜົນຄູນສະກາແລຂອງສອງເວກເຕີ u ແລະ v (ທີ່ບໍ່ແມ່ນເວກເຕີສູນ) ແມ່ນຈຳນວນຈິງ ທີ່ກຳນົດດ້ວຍສູດ:
ເຊິ່ງ θ ແມ່ນມູນລະຫວ່າງສອງເວກເຕີ u ແລະ v (0° ≤ θ ≤ 180°).
- u·v = v·u (ສະຫຼັບບ່ອນໄດ້)
- u·(v + w) = u·v + u·w (ແຈກຢາຍໄດ້)
- u·u = |u|² (ຜົນຄູນສະກາແລຂອງເວກເຕີກັບຕົວມັນເອງ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 35: ຜົນຄູນສະກາແລຂອງສອງເວກເຕີ (Scalar Product of Two Vectors)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຄູນສະກາແລທາງເລຂາຄະນິດ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແനນ, ລວມ 5 ຄະແനນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 35: ຜົນຄູນສະກາແລຂອງສອງເວກເຕີ (Scalar Product of Two Vectors)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຜົນຄູນສະກາແລ u·v = |u|·|v|·cos(θ) ແລະ ສູດໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າ Oxy, ຄິດໄລ່ມູນລະຫວ່າງສອງເວກເຕີ, ແລະ ນຳໃຊ້ເງື່ອນໄຂຕັ້ງສາກ u·v = 0
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 172-177
ໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າ Oxy, ໃຫ້ສອງເວກເຕີ u = [x₁, y₁] ແລະ v = [x₂, y₂]:
ເງື່ອນໄຂຕັ້ງສາກ (Orthogonality): ສອງເວກເຕີ u ແລະ v ຕັ້ງສາກກັນ (u ⊥ v) ກໍຕໍ່ເມື່ອ ຜົນຄູນສະກາແລຂອງພວກມັນເທົ່າກັບ 0:
ພາກທີ IV - ບົດທີ 35: ຜົນຄູນສະກາແລຂອງສອງເວກເຕີ (Scalar Product of Two Vectors)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຄູນສະກາແລດ້ວຍຕົວປະສານ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແനນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າ k ເພື່ອໃຫ້ສອງເວກເຕີຕັ້ງສາກກັນ: (5 ຄະແനນ)
ໃຫ້ u = [k, 2] ແລະ v = [3, -6]. ຊອກຫາຄ່າ k ເພື່ອໃຫ້ u ⊥ v?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 35: ຜົນຄູນສະກາແລຂອງສອງເວກເຕີ (Scalar Product of Two Vectors)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາມູນລະຫວ່າງສອງເວກເຕີ (Angle Between Two Vectors): (5 ຄະແനນ)
ໃຫ້ສອງເວກເຕີ u = [1, √3] ແລະ v = [√3, 1]. ຈົ່ງຊອກຫາຂະໜາດມູນ θ ລະຫວ່າງສອງເວກເຕີນີ້ (ເປັນອົງສາ)?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 35 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຜົນຄູນສະກາແລຂອງສອງເວກເຕີ (Scalar Product of Two Vectors) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ເງື່ອນໄຂຕັ້ງສາກຂອງສອງເວກເຕີ: (5 ຄະແനນ)
ຖ້າສອງເວກເຕີ u ແລະ v ຕັ້ງສາກກັນ, ຜົນຄູນສະກາແລ u·v ຈະເທົ່າກັບເທົ່າໃດ?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 36: ເສັ້ນຊື່ໃນແຜ່ນພຽງ (Straight Lines in the Plane)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງເສັ້ນຊື່ ax + by + c = 0, ເວັກເຕີຊີ້ນຳ u = [-b, a], ເວັກເຕີຕັ້ງສາກ n = [a, b], ແລະ ສູດຄິດໄລ່ໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດໜຶ່ງຫາເສັ້ນຊື່
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 178-183
ສໍາລັບເສັ້ນຊື່ d ທີ່ມີສົມຜົນທົ່ວໄປ ax + by + c = 0 (ເຊິ່ງ a² + b² ≠ 0):
n = [a, b] (ແມ່ນເວັກເຕີທີ່ມີທິດທາງຕັ້ງສາກກັບເສັ້ນຊື່ d)
u = [-b, a] (ແມ່ນເວັກເຕີທີ່ມີທິດທາງຂະໜານ ຫຼື ນອນເທິງເສັ້ນຊື່ d)
ສໍາປະສິດມຸມ (Slope) m ຂອງເສັ້ນຊື່ ແມ່ນ m = -a/b (ເມື່ອ b ≠ 0).
ພາກທີ IV - ບົດທີ 36: ເສັ້ນຊື່ໃນແຜ່ນພຽງ (Straight Lines in the Plane)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເວັກເຕີຕັ້ງສາກ ແລະ ເວັກເຕີຊີ້ນຳ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 36: ເສັ້ນຊື່ໃນແຜ່ນພຽງ (Straight Lines in the Plane)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງເສັ້ນຊື່ ax + by + c = 0, ເວັກເຕີຊີ້ນຳ u = [-b, a], ເວັກເຕີຕັ້ງສາກ n = [a, b], ແລະ ສູດຄິດໄລ່ໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດໜຶ່ງຫາເສັ້ນຊື່
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 178-183
ໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າ Oxy, ໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດ M(x₀, y₀) ຫາເສັ້ນຊື່ Δ: ax + by + c = 0 ແມ່ນຄິດໄລ່ດ້ວຍສູດ:
ພາກທີ IV - ບົດທີ 36: ເສັ້ນຊື່ໃນແຜ່ນພຽງ (Straight Lines in the Plane)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດຫາເສັ້ນຊື່: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ IV - ບົດທີ 36: ເສັ້ນຊື່ໃນແຜ່ນພຽງ (Straight Lines in the Plane)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາສົມຜົນເສັ້ນຊື່ (Line Equation construction): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາສົມຜົນເສັ້ນຊື່ d ທີ່ຜ່ານເມັດ A(2, 3) ແລະ ມີເວັກເຕີຕັ້ງສາກ n = [2, -1] ພາຍໃຕ້ຮູບຮ່າງ 2x - y = C?
ພາກທີ IV - ບົດທີ 36 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເສັ້ນຊື່ໃນແຜ່ນພຽງ (Straight Lines in the Plane) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ໄລຍະຫ່າງຈາກເມັດເຄົ້າຫາເສັ້ນຊື່: (5 ຄະແນນ)
ໄລຍະຫ່າງຈາກຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ O(0, 0) ຫາເສັ້ນຊື່ 5x + 12y - 26 = 0 ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ບົດທີ 37: ພាកທີ IV - ບົດທີ 37: ວົງມົນ (Circles)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ສົມຜົນມາດຕະຖານຂອງວົງມົນ (x - a)² + (y - b)² = R² ທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ I(a, b) ແລະ ລັດສະໝີ R, ພ້ອມທັງສົມຜົນທົ່ວໄປ x² + y² - 2ax - 2by + c = 0
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 184-188
ໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າ Oxy, ວົງມົນ C ທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ I(a, b) ແລະ ລັດສະໝີ R ມີສອງຮູບຮ່າງສົມຜົນ:
(x - a)² + (y - b)² = R²
x² + y² - 2ax - 2by + c = 0
ເຊິ່ງ c = a² + b² - R² ພາຍໃຕ້ເງື່ອນໄຂ a² + b² - c > 0.
ບົດທີ 37: ພាកທີ IV - ບົດທີ 37: ວົງມົນ (Circles)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຈຸດໃຈກາງ ແລະ ລັດສະໝີຂອງວົງມົນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແປງສົມຜົນທົ່ວໄປໃຫ້ເປັນສົມຜົນມາດຕະຖານ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ວົງມົນ C: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0. ຈົ່ງຊອກຫາຮູບຮ່າງມາດຕະຖານ (x - a)² + (y - b)² = R²:
ບົດທີ 37: ພាកທີ IV - ບົດທີ 37: ວົງມົນ (Circles)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາສົມຜົນເສັ້ນສໍາຜັດວົງມົນ (Tangent to a Circle): (5 ຄະແນນ)
ຊອກຫາສົມຜົນເສັ້ນສໍາຜັດ Δ ຂອງວົງມົນ x² + y² = 25 ຢູ່ເມັດ M(3, 4) ພາຍໃຕ້ຮູບຮ່າງ 3x + 4y = C?
ບົດທີ 37 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ພាកທີ IV - ບົດທີ 37: ວົງມົນ (Circles) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຊອກຫາຈຸດໃຈກາງວົງມົນ: (5 ຄະແນນ)
ວົງມົນ C: x² + y² + 8x - 10y = 0 ມີຈຸດໃຈກາງ I(a, b) ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ບົດທີ 38: ພាកທີ IV - ບົດທີ 38: ແຜ່ນພຽງໃນອາວະກາດ (Planes in Space)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງແຜ່ນພຽງ Ax + By + Cz + D = 0, ເວັກເຕີຕັ້ງສາກ n = [A, B, C], ການຊອກສົມຜົນແຜ່ນພຽງ ແລະ ເງື່ອນໄຂຕັ້ງສາກຂອງສອງແຜ່ນພຽງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 189-194
ໃນອາວະກາດ Oxyz, ສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງແຜ່ນພຽງ (P) ມີຮູບຮ່າງ:
ເຊິ່ງ A, B, C ບໍ່ເທົ່າສູນພ້ອມກັນ (A² + B² + C² ≠ 0).
ເວັກເຕີຕັ້ງສາກ (Normal Vector) ຂອງແຜ່ນພຽງ (P) ແມ່ນເວັກເຕີ n ທີ່ຕັ້ງສາກກັບທຸກໆເວັກເຕີໃນແຜ່ນພຽງ (P):
ບົດທີ 38: ພាកທີ IV - ບົດທີ 38: ແຜ່ນພຽງໃນອາວະກາດ (Planes in Space)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາເວັກເຕີຕັ້ງສາກຂອງແຜ່ນພຽງ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ບົດທີ 38: ພាកທີ IV - ບົດທີ 38: ແຜ່ນພຽງໃນອາວະກາດ (Planes in Space)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ສົມຜົນທົ່ວໄປຂອງແຜ່ນພຽງ Ax + By + Cz + D = 0, ເວັກເຕີຕັ້ງສາກ n = [A, B, C], ການຊອກສົມຜົນແຜ່ນພຽງ ແລະ ເງື່ອນໄຂຕັ້ງສາກຂອງສອງແຜ່ນພຽງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 189-194
- ສົມຜົນແຜ່ນພຽງທີ່ຜ່ານເມັດ M₀(x₀, y₀, z₀) ແລະ ມີເວັກເຕີຕັ້ງສາກ n = [A, B, C] ຈະມີຮູບຮ່າງ:
- ສອງແຜ່ນພຽງ (P₁) ແລະ (P₂) ທີ່ມີເວັກເຕີຕັ້ງສາກ n₁ = [A₁, B₁, C₁] ແລະ n₂ = [A₂, B₂, C₂] ຕັ້ງສາກກັນ ກໍຕໍ່ເມື່ອ ຜົນຄູນສະກາແລຂອງເວັກເຕີຕັ້ງສາກເທົ່າກັບ 0:
ບົດທີ 38: ພាកທີ IV - ບົດທີ 38: ແຜ່ນພຽງໃນອາວະກາດ (Planes in Space)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຄົງທີ່ D ຂອງສົມຜົນແຜ່ນພຽງ: (5 ຄະແນນ)
ແຜ່ນພຽງຜ່ານເມັດ A(1, 2, 3) ໂດຍມີເວັກເຕີຕັ້ງສາກ n = [1, -1, 2] ມີສົມຜົນຂຽນໃນຮູບຮ່າງ x - y + 2z + D = 0. ຈົ່ງຊອກຫາ D?
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຄົງທີ່ k ເພື່ອໃຫ້ສອງແຜ່ນພຽງຕັ້ງສາກກັນ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ (P): kx + 2y - z + 4 = 0 ແລະ (Q): 2x - y + 3z - 5 = 0. ຊອກຫາຄ່າ k ເພື່ອໃຫ້ P ⊥ Q?
ບົດທີ 38: ພាកທີ IV - ບົດທີ 38: ແຜ່ນພຽງໃນອາວະກາດ (Planes in Space)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດແຜ່ນພຽງຜ່ານສາມເມັດ (Plane Passing Through Three Points): (5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາສົມຜົນແຜ່ນພຽງທີ່ຜ່ານສາມເມັດ A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) ແລະ C(0, 0, 1) ພາຍໃຕ້ຮູບຮ່າງ x + y + z = C?
ບົດທີ 38 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ພាកທີ IV - ບົດທີ 38: ແຜ່ນພຽງໃນອາວະກາດ (Planes in Space) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ເມັດເທິງແຜ່ນພຽງ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ເມັດ A(1, 1, 1) ນອນເທິງແຜ່ນພຽງ x + 2y - z + D = 0. ຊອກຫາຄ່າ D?
ບົດທີ 39: ພាកທີ IV - ບົດທີ 39: ໜ້າກົມ (Spheres)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ສົມຜົນມາດຕະຖານຂອງໜ້າກົມ (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² ທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ I(a, b, c) ແລະ ລັດສະໝີ R, ພ້ອມທັງສົມຜົນທົ່ວໄປ ແລະ ການກວດສອບຄວາມຖືກຕ້ອງ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 195-199
ໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າ Oxyz, ໜ້າກົມ S ທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ I(a, b, c) ແລະ ລັດສະໝີ R ມີສອງຮູບຮ່າງສົມຜົນ:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
ເຊິ່ງ d = a² + b² + c² - R² ພາຍໃຕ້ເງື່ອນໄຂ a² + b² + c² - d > 0.
ບົດທີ 39: ພាកທີ IV - ບົດທີ 39: ໜ້າກົມ (Spheres)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຈຸດໃຈກາງ ແລະ ລັດສະໝີຂອງໜ້າກົມ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງແປງສົມຜົນທົ່ວໄປໃຫ້ເປັນສົມຜົນມາດຕະຖານ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ໜ້າກົມ S: x² + y² + z² - 4x + 6y - 2z - 2 = 0. ຈົ່ງຊອກຫາຮູບຮ່າງມາດຕະຖານ (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²:
ບົດທີ 39: ພាកທີ IV - ບົດທີ 39: ໜ້າກົມ (Spheres)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາສົມຜົນໜ້າກົມຜ່ານຈຸດ (Sphere Passing Through Point): (5 ຄະແນນ)
ຊອກຫາສົມຜົນໜ້າກົມທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ I(1, 2, 2) ແລະ ຜ່ານຈຸດເຄົ້າ O(0, 0, 0) ພາຍໃຕ້ຮູບຮ່າງ (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 2)² = R²?
ບົດທີ 39 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ພាកທີ IV - ບົດທີ 39: ໜ້າກົມ (Spheres) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຊອກຫາຈຸດໃຈກາງໜ້າກົມ: (5 ຄະແນນ)
ໜ້າກົມ S: x² + y² + z² - 6x + 8z = 0 ມີຈຸດໃຈກາງ I(a, b, c) ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 40: ສະຖິຕິພື້ນຖານ (Basic Statistics)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ວິທີການຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍ (Mean), ຄ່າກາງ (Median), ຄ່ານິຍົມ (Mode), ແລະ ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບການແຈກແຈງຄວາມຖີ່ຂອງຂໍ້ມູນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 200-205
ໃນສະຖິຕິພັນລະນາ, ຄ່າວັດແທກທ່າອ່ຽງເຂົ້າສູ່ສ່ວນກາງທີ່ນິຍົມໃຊ້ມີ 3 ຄ່າ:
x̄ = (Σ x_i) / N
(ຜົນບວກຂອງຂໍ້ມູນທັງໝົດ ຫານໃຫ້ ຈຳນວນຂໍ້ມູນ)
ແມ່ນຄ່າທີ່ຢູ່ເຄິ່ງກາງຂອງຂໍ້ມູນ ເມື່ອໄດ້ຈັດລຽງຂໍ້ມູນຈາກນ້ອຍຫາຫຼາຍ.
ແມ່ນຂໍ້ມູນທີ່ມີຄວາມຖີ່ສູງສຸດ (ປະກົດຕົວຫຼາຍທີ່ສຸດໃນຂໍ້ມູນ).
ພາກທີ V - ບົດທີ 40: ສະຖິຕິພື້ນຖານ (Basic Statistics)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາ x̄, Med, Mod ຂອງຂໍ້ມູນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຊຸດຂໍ້ມູນ: 2, 4, 4, 5, 6, 9.
ພາກທີ V - ບົດທີ 40: ສະຖິຕິພື້ນຖານ (Basic Statistics)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ວິທີການຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍ (Mean), ຄ່າກາງ (Median), ຄ່ານິຍົມ (Mode), ແລະ ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບການແຈກແຈງຄວາມຖີ່ຂອງຂໍ້ມູນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 200-205
ເມື່ອຂໍ້ມູນມີຄວາມຖີ່ (f_i) ປະກົດຂຶ້ນ, ເຮົາຈະໃຊ້ສູດຄ່າສະເລ່ຍຖ່ວງນ້ຳໜັກ:
ພາກທີ V - ບົດທີ 40: ສະຖິຕິພື້ນຖານ (Basic Statistics)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍຈາກຕາຕະລາງຄວາມຖີ່: (5 ຄະແນນ)
ຄະແນນກວດກາຂອງນັກຮຽນກຸ່ມໜຶ່ງ: ຄະແນນ 5 (ມີ 2 ຄົນ), ຄະແນນ 7 (ມີ 5 ຄົນ), ຄະແນນ 10 (ມີ 3 ຄົນ). ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າສະເລ່ຍ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 40: ສະຖິຕິພື້ນຖານ (Basic Statistics)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຊອກຫາຄ່າກາງຂອງຄວາມສູງ (Median of Heights): (5 ຄະແນນ)
ຄວາມສູງ (cm) ຂອງນັກຮຽນ 5 ຄົນແມ່ນ: 150, 163, 155, 152, 160. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າກາງ (Median)?
ພາກທີ V - ບົດທີ 40 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ສະຖິຕິພື້ນຖານ (Basic Statistics) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຊອກຫາຄ່ານິຍົມ: (5 ຄະແນນ)
ຄ່ານິຍົມ (Mode) ຂອງຊຸດຂໍ້ມູນ 12, 15, 12, 18, 12, 15, 20 ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 41: ການກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນ (Dispersion of Data)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ວິທີຊອກຫາພິໄສ (Range), ຄ່າຜັນປ່ຽນ (Variance - s²), ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (Standard Deviation - s) ເພື່ອວັດແທກການກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນ
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 206-211
ເພື່ອເຂົ້າໃຈຄວາມແຕກຕ່າງ ຫຼື ການກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນ, ເຮົາໃຊ້ຄ່າວັດແທກຕໍ່ໄປນີ້:
Range = x_max - x_min
(ຜົນລົບລະຫວ່າງຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່ານ້ອຍສຸດຂອງຂໍ້ມູນ)
s² = Σ (x_i - x̄)² / N
(ຄ່າສະເລ່ຍຂອງຜົນບວກກຳລັງສອງຂອງຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງຂໍ້ມູນແຕ່ລະຕົວ ກັບຄ່າສະເລ່ຍ)
s = √s²
(ແມ່ນຮາກຂັ້ນສອງຂອງຄ່າຜັນປ່ຽນ, ມັນມີຫົວໜ່ວຍດຽວກັນກັບຂໍ້ມູນເບື້ອງຕົ້ນ)
ພາກທີ V - ບົດທີ 41: ການກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນ (Dispersion of Data)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາພິໄສຂອງຂໍ້ມູນຕໍ່ໄປນີ້: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າຜັນປ່ຽນ (Variance): (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ຊຸດຂໍ້ມູນ: 1, 2, 3, 4, 5. ເຮົາມີຄ່າສະເລ່ຍ x̄ = 3. ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າຜັນປ່ຽນ s² (ຫານດ້ວຍ N)?
ພາກທີ V - ບົດທີ 41: ການກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນ (Dispersion of Data)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດການປ່ຽນແປງຂໍ້ມູນ (Effect of Adding a Constant to Data): (5 ຄະແນນ)
ຖ້າຂໍ້ມູນແຕ່ລະຕົວໃນຊຸດຂໍ້ມູນໜຶ່ງ ຖືກບວກຕື່ມດ້ວຍ 5. ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ s ຂອງຂໍ້ມູນຊຸດໃໝ່ ຈະມີການປ່ຽນແປງແນວໃດ ເມື່ອທຽບໃສ່ຊຸດເກົ່າ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 41 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ການກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນ (Dispersion of Data) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການກະຈາຍເປັນສູນ: (5 ຄະແນນ)
ຖ້າຂໍ້ມູນທຸກຕົວໃນຊຸດຂໍ້ມູນມີຄ່າເທົ່າກັນທັງໝົດ (ຕົວຢ່າງ: 5, 5, 5, 5). ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ s ຈະມີຄ່າເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 42: ຄວາມໜ້າຈະເປັນພື້ນຖານ (Basic Probability)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບກຸ່ມຜົນອາດເກີດ (Sample Space), ເຫດການ (Event), ແລະ ສູດຄິດໄລ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນແບບຄລາສສິກ P(A) = n(A) / n(S)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 212-217
ໃນທິດສະດີຄວາມໜ້າຈະເປັນ, ເຮົາມີຄຳສັບທີ່ຕ້ອງຈື່ດັ່ງນີ້:
ແມ່ນກຸ່ມຂອງຜົນໄດ້ຮັບທັງໝົດທີ່ອາດຈະເກີດຂຶ້ນໄດ້ຈາກການທົດລອງແບບສຸ່ມ.
ແມ່ນກຸ່ມຍ່ອຍ (Subset) ຂອງກຸ່ມຜົນອາດເກີດ S ທີ່ເຮົາສົນໃຈ (A ⊆ S).
ພາກທີ V - ບົດທີ 42: ຄວາມໜ້າຈະເປັນພື້ນຖານ (Basic Probability)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຈຳນວນອົງປະກອບຂອງເຫດການ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ V - ບົດທີ 42: ຄວາມໜ້າຈະເປັນພື້ນຖານ (Basic Probability)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບກຸ່ມຜົນອາດເກີດ (Sample Space), ເຫດການ (Event), ແລະ ສູດຄິດໄລ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນແບບຄລາສສິກ P(A) = n(A) / n(S)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 212-217
ຄວາມໜ້າຈະເປັນຂອງເຫດການ A ທີ່ເກີດຂຶ້ນ ຄິດໄລ່ດ້ວຍອັດຕາສ່ວນ:
- ຄວາມໜ້າຈະເປັນມີຄ່າລະຫວ່າງ 0 ຫາ 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- ຖ້າ P(A) = 0: ເຫດການທີ່ບໍ່ມີທາງເກີດຂຶ້ນໄດ້.
- ຖ້າ P(A) = 1: ເຫດການທີ່ເກີດຂຶ້ນຢ່າງແນ່ນອນ.
ພາກທີ V - ບົດທີ 42: ຄວາມໜ້າຈະເປັນພື້ນຖານ (Basic Probability)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຊອກຫາຄວາມໜ້າຈະເປັນຂອງເຫດການ: (5 ຄະແນນ)
ໂຍນໝາກກະລັອກ 1 ໜ່ວຍ. ຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ຈະໄດ້ແຕ້ມເປັນຈຳນວນມູນ (Prime Number) ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 42: ຄວາມໜ້າຈະເປັນພື້ນຖານ (Basic Probability)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດໂຍນຫຼຽນສອງອັນ (Probability of Two Coins): (5 ຄະແນນ)
ໂຍນຫຼຽນທີ່ທ່ຽງຕົງ 2 ອັນພ້ອມກັນ. ຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ຈະໄດ້ຫຼຽນອອກກົງກັນຂ້າມກັນຢ່າງໜ້ອຍໜຶ່ງອັນ (ມີ ກ້ອຍ ຢ່າງໜ້ອຍ 1 ອັນ) ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 42 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ຄວາມໜ້າຈະເປັນພື້ນຖານ (Basic Probability) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຄວາມໜ້າຈະເປັນຂອງເຫດການທີ່ເປັນໄປບໍ່ໄດ້: (5 ຄະແນນ)
ຄວາມໜ້າຈະເປັນຂອງເຫດການທີ່ເປັນໄປບໍ່ໄດ້ຢ່າງເດັດຂາດ ມີຄ່າເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 43: ເຫດການເອກະລາດ ແລະ ການຄູນຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Independent Events)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບເຫດການເອກະລາດ (Independent Events) ແລະ ສູດຄິດໄລ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນຮ່ວມ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 218-223
ສອງເຫດການ A ແລະ B ຖືກເອີ້ນວ່າ ເປັນເອກະລາດເຊິ່ງກັນແລະກັນ (Independent) ຖ້າວ່າການເກີດ ຫຼື ບໍ່ເກີດຂຶ້ນຂອງເຫດການໜຶ່ງ ບໍ່ມີຜົນກະທົບຕໍ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ຈະເກີດຂຶ້ນຂອງອີກເຫດການໜຶ່ງ.
- ໂຍນຫຼຽນ 1 ອັນ ແລະ ໂຍນໝາກກະລັອກ 1 ໜ່ວຍ (ຜົນຂອງຫຼຽນ ບໍ່ມີຜົນຕໍ່ໝາກກະລັອກ).
- ການຍິງເປົ້າຂອງສອງຄົນທີ່ແຕກຕ່າງກັນ ໂດຍແຕ່ລະຄົນຍິງເປັນອິດສະຫຼະ.
ພາກທີ V - ບົດທີ 43: ເຫດການເອກະລາດ ແລະ ການຄູນຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Independent Events)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນຮ່ວມຂອງເຫດການເອກະລາດ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ V - ບົດທີ 43: ເຫດການເອກະລາດ ແລະ ການຄູນຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Independent Events)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບເຫດການເອກະລາດ (Independent Events) ແລະ ສູດຄິດໄລ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນຮ່ວມ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 218-223
ຖ້າ A ແລະ B ເປັນສອງເຫດການເອກະລາດກັນ, ຄວາມໜ້າຈະເປັນຮ່ວມ P(A ∩ B) ແມ່ນຄິດໄລ່ດັ່ງນີ້:
ພາກທີ V - ບົດທີ 43: ເຫດການເອກະລາດ ແລະ ການຄູນຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Independent Events)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນການຍິງຖືກເປົ້າຮ່ວມ: (5 ຄະແນນ)
ນັກກິລາສອງຄົນຍິງທະນູໃສ່ເປົ້າໝາຍດຽວກັນຢ່າງເປັນເອກະລາດ. ຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ຄົນທີໜຶ່ງຍິງຖືກແມ່ນ 0.6 ແລະ ຄົນທີສອງແມ່ນ 0.8. ຈົ່ງຊອກຫາຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ທັງສອງຄົນຍິງຖືກເປົ້າໝາຍ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 43: ເຫດການເອກະລາດ ແລະ ການຄູນຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Independent Events)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດຄວາມໜ້າຈະເປັນຢ່າງໜ້ອຍໜຶ່ງຄົນຍິງຖືກ (At Least One Hit): (5 ຄະແນນ)
ຈາກເງື່ອນໄຂຂອງນັກກິລາຍິງທະນູສອງຄົນ (ຄົນທີໜຶ່ງຖືກ 0.6, ຄົນທີສອງຖືກ 0.8). ຈົ່ງຊອກຫາຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ມີຢ່າງໜ້ອຍໜຶ່ງຄົນຍິງຖືກເປົ້າໝາຍ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 43 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເຫດການເອກະລາດ ແລະ ການຄູນຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Independent Events) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ການຄູນຄວາມໜ້າຈະເປັນ: (5 ຄະແນນ)
ໃຫ້ສອງເຫດການ A ແລະ B ເປັນເອກະລາດກັນ ໂດຍມີ P(A) = 0.4 ແລະ P(B) = 0.5. ຜົນຄູນ P(A ∩ B) ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 44: ເຫດການຂັດກັນ ແລະ ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Mutually Exclusive Events)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບເຫດການຂັດກັນ (Mutually Exclusive Events) ແລະ ສູດຄິດໄລ່ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 224-228
ສອງເຫດການ A ແລະ B ເອີ້ນວ່າ ເປັນເຫດການຂັດກັນ (Mutually Exclusive) ຖ້າວ່າທັງສອງເຫດການນັ້ນ ບໍ່ສາມາດເກີດຂຶ້ນພ້ອມກັນໄດ້ໃນການທົດລອງດຽວກັນ (A ∩ B = ∅).
- ໂຍນໝາກກະລັອກ 1 หน່ວຍ: ເຫດການໄດ້ແຕ້ມຄູ່ ແລະ ເຫດການໄດ້ແຕ້ມຄີກ (ຂັດກັນຢ່າງເດັດຂາດ).
- ຈົກສະຫຼາກໄດ້ລາງວັນທີ 1 ແລະ ໄດ້ລາງວັນທີ 2 ໃນການຈົກໃບດຽວກັນ (ຂັດກັນ).
ພາກທີ V - ບົດທີ 44: ເຫດການຂັດກັນ ແລະ ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Mutually Exclusive Events)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນຂອງເຫດການຂັດກັນ: (ຂໍ້ລະ 2.5 ຄະແນນ, ລວມ 5 ຄະແນນ)
ພາກທີ V - ບົດທີ 44: ເຫດການຂັດກັນ ແລະ ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Mutually Exclusive Events)
ຈຸດປະສົງ: ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບເຫດການຂັດກັນ (Mutually Exclusive Events) ແລະ ສູດຄິດໄລ່ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
ປຶ້ມແບບຮຽນ ມ.4 ໜ້າ 224-228
ສໍາລັບສອງເຫດການ A ແລະ B ໃດໆ (ບໍ່ວ່າຈະຂັດກັນຫຼືບໍ່), ຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ຈະເກີດເຫດການ A ຫຼື B (A ∪ B) ແມ່ນ:
ພາກທີ V - ບົດທີ 44: ເຫດການຂັດກັນ ແລະ ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Mutually Exclusive Events)
ບົດຝຶກຫັດພື້ນຖານ — ຂັ້ນຕອນທີ 1
ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄວາມໜ້າຈະເປັນການບວກແບບທົ່ວໄປ: (5 ຄະແນນ)
ໂຍນໝາກກະລັອກ 1 ໜ່ວຍ. ຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ຈະໄດ້ແຕ້ມຄູ່ (Even) ຫຼື ໄດ້ແຕ້ມທີ່ຫານຂາດໃຫ້ 3 ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 44: ເຫດການຂັດກັນ ແລະ ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Mutually Exclusive Events)
ບົດຝຶກຫັດທ້າທາຍ — ຂັ້ນຕອນທີ 2
ໂຈດກິລານັກຮຽນ (Sports Probability Problem): (5 ຄະແນນ)
ໃນໂຮງຮຽນແຫ່ງໜຶ່ງ, ມີນັກຮຽນ 40% ຫຼິ້ນກິລາບານເຕະ (F), 30% ຫຼິ້ນບານບ້ວງ (B) ແລະ 15% ຫຼິ້ນທັງສອງກິລາ. ສຸ່ມເລືອກນັກຮຽນ 1 ຄົນ. ຄວາມໜ້າຈະເປັນທີ່ນັກຮຽນຄົນນັ້ນ ຫຼິ້ນກິລາບານເຕະ ຫຼື ບານບ້ວງ ແມ່ນເທົ່າໃດ?
ພາກທີ V - ບົດທີ 44 - ບົດທົດສອບປະຈຳບົດ
ເຫດການຂັດກັນ ແລະ ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Mutually Exclusive Events) ຂອງການທົດສອບຄວາມຮູ້
ຜົນຮ່ວມຂອງເຫດການຂັດກັນ: (5 ຄະແນນ)
ຖ້າ A ແລະ B ເປັນສອງເຫດການຂັດກັນຢ່າງເດັດຂາດ, ຄວາມໜ້າຈະເປັນຮ່ວມ P(A ∩ B) ຈະມີຄ່າເທົ່າໃດ?
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 1)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 1: ສຳນວນປົກກະຕິ (ໜ້າທີ່ 2-7)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 2)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 2: ການຄູນ ແລະ ການຫານສຳນວນປົກກະຕິ (ໜ້າທີ່ 8-13)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 3)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 3: ການຫານພະຫຸພົດ (ໜ້າທີ່ 14-19)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 4)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 4: ການບວກ ແລະ ການລົບເສດສ່ວນ (Addition and Subtraction of Rational Expressions) (ໜ້າທີ່ 20-25)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 5)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 5: ການແກ້ສົມຜົນອັດຕາສ່ວນ (Solving Rational Equations) (ໜ້າທີ່ 26-31)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 6)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 6: ອັດຕາສ່ວນ ແລະ ອັດຕາສ່ວນພົວພັນ (Ratios and Proportions) (ໜ້າທີ່ 32-37)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 7)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 7: ເປີເຊັນ ແລະ ດອກເບ້ຍ (Percentages and Interest) (ໜ້າທີ່ 38-43)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 8)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 8: ການແກ້ໂຈດບັນຫາກ່ຽວກັບຄວາມໄວ, ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາ (Speed, Distance, and Time Problems) (ໜ້າທີ່ 44-49)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 9)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 9: ເລກຮາກຂັ້ນ n (n-th Roots) (ໜ້າທີ່ 50-55)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 10)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 10: ການຄິດໄລ່ໜວດຄຳນວນທີ່ມີເລກຮາກ (Calculations with Radicals) (ໜ້າທີ່ 56-61)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 11)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 11: ການແກ້ສົມຜົນຮາກຂັ້ນສອງ (Solving Radical Equations) (ໜ້າທີ່ 62-67)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ I - ບົດທີ 12)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ I - ບົດທີ 12: ເລກກຳລັງທີ່ມີຕົວຊີ້ບອກເປັນຈຳນວນປົກກະຕິ (Rational Exponents) (ໜ້າທີ່ 68-73)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 13)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 13: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = x² (Quadratic Functions in form y = x²) (ໜ້າທີ່ 74-79)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 14)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 14: ຕຳລາຂັ້ນສອງໃນຮູບຮ່າງ y = ax² (Quadratic Functions in form y = ax²) (ໜ້າທີ່ 80-85)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 15)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 15: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-b)² (Quadratic Functions in form y = a(x-b)²) (ໜ້າທີ່ 86-91)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 16)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 16: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = a(x-p)² + q (Quadratic Functions in form y = a(x-p)² + q) (ໜ້າທີ່ 92-97)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 17)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 17: ຕຳລາໃນຮູບຮ່າງ y = ax² + bx + c (Quadratic Functions in form y = ax² + bx + c) (ໜ້າທີ່ 98-103)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 18)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 18: ຄ່າສູງສຸດ ແລະ ຄ່າຕ່ຳສຸດຂອງຕຳລາຂັ້ນສອງ (Maximum and Minimum of Quadratic Functions) (ໜ້າທີ່ 104-109)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 19)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 19: ເຄື່ອງໝາຍຂອງໄຕພົດຂັ້ນສອງ (Sign of Quadratic Trinomial) (ໜ້າທີ່ 110-115)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 20)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 20: ອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ຈຳນວນໃຈຜົນ (Quadratic Inequalities & Number of Roots) (ໜ້າທີ່ 116-121)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 21)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 21: ທີ່ຕັ້ງສຳພັດລະຫວ່າງເສັ້ນຊື່ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງຂັ້ນສອງ (Relative Positions of Lines & Parabolas) (ໜ້າທີ່ 122-127)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 22)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 22: ສູດວີແອດ (Vieta's Formulas) (ໜ້າທີ່ 128-133)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 23)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 23: ລະບົບອະສົມຜົນຂັ້ນສອງ ແລະ ເຄື່ອງໝາຍຂອງຮາກ (Systems of Quadratic Inequalities & Root Signs) (ໜ້າທີ່ 134-139)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ II - ບົດທີ 24)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ II - ບົດທີ 24: ລະບົບສົມຜົນຂັ້ນສອງທີ່ມີສອງຕົວປ່ຽນ (Systems of Quadratic Equations with Two Variables) (ໜ້າທີ່ 140-145)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ III - ບົດທີ 25)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ III - ບົດທີ 25: ໄຕມູມມິຕິໃນຮູບສາມແຈສາກ (Trigonometry in Right Triangles) (ໜ້າທີ່ 146-151)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ III - ບົດທີ 26)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ III - ບົດທີ 26: ໂກຊີນ, ຊີນ ແລະ ຕັງຂອງມຸມລະຫວ່າງ 0° ຫາ 180° (Trigonometry from 0° to 180°) (ໜ້າທີ່ 152-157)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ III - ບົດທີ 27)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ III - ບົດທີ 27: ຫຼັກເກນຊີນ (The Law of Sines) (ໜ້າທີ່ 158-163)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ III - ບົດທີ 28)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ III - ບົດທີ 28: ຫຼັກເກນໂກຊີນ (The Law of Cosines) (ໜ້າທີ່ 164-169)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ III - ບົດທີ 29)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ III - ບົດທີ 29: ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ (Area of a Triangle) (ໜ້າທີ່ 170-175)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 2:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 2:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ IV - ບົດທີ 30)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ IV - ບົດທີ 30: ຄວາມຮູ້ທົ່ວໄປກ່ຽວກັບເວກເຕີ (Introduction to Vectors) (ໜ້າທີ່ 176-181)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ IV - ບົດທີ 31)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ IV - ບົດທີ 31: ການບວກ ແລະ ການລົບເວກເຕີ (Addition & Subtraction of Vectors) (ໜ້າທີ່ 182-187)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ IV - ບົດທີ 32)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ IV - ບົດທີ 32: ການຄູນເວກເຕີດ້ວຍສະກາແລ (Vector Multiplication by a Scalar) (ໜ້າທີ່ 188-193)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ IV - ບົດທີ 33)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ IV - ບົດທີ 33: ເວກເຕີໃນລະບົບເສັ້ນເຄົ້າຕັ້ງສາກ (Vectors in the Orthogonal Coordinate System) (ໜ້າທີ່ 194-199)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ 4:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ IV - ບົດທີ 34)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ IV - ບົດທີ 34: ເວກເຕີຮ່ວມແຜ່ນພຽງ (Coplanar Vectors) (ໜ້າທີ່ 200-203)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ IV - ບົດທີ 35)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ IV - ບົດທີ 35: ຜົນຄູນສະກາແລຂອງສອງເວກເຕີ (Scalar Product of Two Vectors) (ໜ້າທີ່ 204-209)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ IV - ບົດທີ 36)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ IV - ບົດທີ 36: ເສັ້ນຊື່ໃນແຜ່ນພຽງ (Straight Lines in the Plane) (ໜ້າທີ່ 210-215)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ບົດທີ 37)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ບົດທີ 37: ພាកທີ IV - ບົດທີ 37: ວົງມົນ (Circles) (ໜ້າທີ່ 216-219)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ບົດທີ 38)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ບົດທີ 38: ພាកທີ IV - ບົດທີ 38: ແຜ່ນພຽງໃນອາວະກາດ (Planes in Space) (ໜ້າທີ່ 220-225)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ບົດທີ 39)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ບົດທີ 39: ພាកທີ IV - ບົດທີ 39: ໜ້າກົມ (Spheres) (ໜ້າທີ່ 226-229)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ V - ບົດທີ 40)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ V - ບົດທີ 40: ສະຖິຕິພື້ນຖານ (Basic Statistics) (ໜ້າທີ່ 230-235)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ V - ບົດທີ 41)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ V - ບົດທີ 41: ການກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນ (Dispersion of Data) (ໜ້າທີ່ 236-239)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ V - ບົດທີ 42)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ V - ບົດທີ 42: ຄວາມໜ້າຈະເປັນພື້ນຖານ (Basic Probability) (ໜ້າທີ່ 240-245)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ V - ບົດທີ 43)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ V - ບົດທີ 43: ເຫດການເອກະລາດ ແລະ ການຄູນຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Independent Events) (ໜ້າທີ່ 246-251)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ເຈ້ຍຄຳຕອບ (ພາກທີ V - ບົດທີ 44)
ກວດຄຳຕອບ ແລະ ທົບທວນ
ພາກທີ V - ບົດທີ 44: ເຫດການຂັດກັນ ແລະ ການບວກຄວາມໜ້າຈະເປັນ (Mutually Exclusive Events) (ໜ້າທີ່ 252-257)
ຄຳຖາມ 1:
ຄຳຖາມ 2:
ຄຳຖາມ 3:
ຄຳຖາມ ທ້າທາຍ 1:
ຄຳຖາມ ທົດສອບປະຈຳບົດ 1:
ໃບຢັ້ງຢືນ
ຂໍສະແດງຄວາມຍິນດີ！
ໄດ້ສຳເລັດແບບຝຶກຫັດຄະນິດສາດ ມ.4
ທັງໝົດ 44 ບົດຮຽນ ຢ່າງດີເລີດ！